本书封面

在介绍一般三次方程求解时，我提到了1的立方根。它一共有3个立方根。1本身是1的立方根，因为1x1x1=1。1的其他两个立方根是：

x₂=ω，x₃=ω²

这两个根通常被称为ω和ω²。如果对其中任何一个取立方，同时记住i²=-1，就会发现答案总是1。另外，第二个数是第一个数的平方，第一个数是第二个数的平方。当然ω²是ω的平方。稍微计算一下可知，ω是ω²的平方（因为ω²的平方是 ω⁴，而 ω⁴=ω³×ω，而根据定义ω³=1)。

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研究我们通常称为"单位"的1的 n 次根非常有趣，而且触及了几个不同的数学领域，其中包括古典几何和数论。但只有当数学家们能够很自如地处理复数时，才能真正展开这项研究，也就是说在18世纪中期才开始研究。伟大的瑞士数学家欧拉于1751年在一篇题为"论根和无理数的开方"的论文中对这个问题进行了广泛的探讨。

当然1的平方根是1和﹣1。1的立方根是1和前面我给出的两个数ω和ω²。1的四次方根是1、-1、 i 、- i 。这些根的4次幂都是1。欧拉证明了单位1的五次方根是：

用数值表示就是：1、0.309017+0.951057i、-0.809017+0.587785i、-0.809017-0.587785i和0.309017-0.951057i。如果在复平面内标出这些数值，把实数部分标在东西向，而把虚数部分标在南北向，就有点像图 RU -1的样子。

图 RU -1单位的五次方根

事实上，它们是以原点为中心的正五边形的顶点。换一种描述：它们分别位于以1为半径的单位圆的圆周上，而且它们把这个圆周平均分成五等份。表示"平分一个圆"的希腊语是 cyclotomic 。这些复数或者说是复平面上的点被称为 cyclotomic points （分圆点）⁽¹⁾。

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这些数都是从哪里来的呢？我们是如何知道1的复数立方根是上面给出的ω和ω²的呢？动手解方程就知道了。

如果x是1的立方根，那么当然有x³=1。换一种方式表示：x³-1=0。而这恰好是一个可以求解的三次方程。事实上，因为我们知道 x=1一定是其中的一个解，所以立即就能将其因式分解为这样的形式：

(x-1)(x²+x+1)=0

所以，为了得到另外两个解，我们必须解这个二次方程。根据一般二次根公式可知，这个方程的解就是我所说的ω和ω²（参见第1章注解[6])。

事实上，对于任意一个解为单位的n次方根的方程来说，方程 xⁿ-1=0都可因式分解成如下形式：

(x-1)(xⁿ⁻¹+ xⁿ⁻²+ xⁿ⁻³+…+x +1)=0

而且除了1本身之外的其他单位根都可通过解下面这个方程得到：

xⁿ⁻¹+ xⁿ⁻²+ xⁿ⁻³+…+x +1=0

18世纪和19世纪的数学家花了大量笔墨来介绍上面这个方程的 n 个一般值。高斯在他的经典著作《算术研究》中用了整整一章的篇幅，英文译本中这一章占了54页。有时候我们把这个方程称为"分圆方程”，但现代数学家所说的"割圆方程"有更严格的意义。

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高斯的最高成就是证明了正十七边形可以用古典的方式（即只用圆规直尺）构造出来。

用我的话说就是，当且仅当在复平面内构成正多边形顶点的割圆点都可仅用整数和平方根符号写出来时，才可以这样构造正多边形。如前面我给出的 n =5时的单位的五次方根就属于这种情况。所以正五边形可以用圆规和直尺构造出来。高斯证明了正十七边形也是如此。事实上，他写出了单位的十七次方根的实数部分：

虽然嵌套了三层，但都是整数和平方根，因此可以用直尺和圆规构造。这是年轻的高斯的第一个伟大数学成就。这个成就太了不起了，所以人们把正十七边形刻在了他的出生地——德国不伦瑞克的纪念碑上。

高斯还证明，对于形如(底数是2，指数是2ⁿ，共3层，再+1，即著名的费马数Fₙ) 的素数（而不能错误地说成是这种形式的任意数），上面的事实也是成立的。当n=0、1、2、3和4时，这些数(Fₙ)分别是3、5、17、257和65537，它们全是素数。然而，当n=5时，F₅是4294967297,"正如伟大的欧拉第一个指出的那样"（我引用了高斯的说法），这个数不是素数。

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单位根有很多有趣的性质。它不仅与古典几何关系密切，而且与研究素数、因数和余数的数论有着密切的联系。

为了初步了解单位根，要考虑单位的六次方根。它们是1、-ω²、 ω、-1、ω²、-ω ，而ω和ω²是我们熟悉的单位的立方根。（我希望到目前为止大家应该很熟悉它们了。）如果你依次取这六个根中的每一个，然后再求它的一次、二次、三次、四次、五次和六次幂，就会得到下表中的结果。这些根被放置于表头标有 a 的最左栏。每一个根的各次幂按列排在一行。（任何数的一次幂就是这个数本身。这六个根的六次幂都等于1。)

在这个过程中，六个根中只有两个根﹣ω²和﹣ω生成了所有六个根。其他根只能生成六个根的某个子集。这一结果与直觉一致，因为只有﹣ω²和﹣ω是单位的六次方根，而其他的都是单位的平方根（例如﹣1）或单位的立方根(例如ω²和ω)。

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在 n =6时，像﹣ω²和﹣ω 这样的单位的 n 次方根的各次幂可以生成所有的 n 次方根，我们称它们是单位的 n 次本原根⁽²⁾。"第一个" n 次方根（按顺时针方向绕着复数图示的单位圆行进）总是本原根。其他的 n 次本原根是第 k 个，其中 k 是与 n 没有公因子的数。例如，单位的九次本原根应该是第一个、第二个、第四个、第五个、第七个和第八个九次方根。如果 n 是素数，那么除了1之外，单位的所有 n 次方根都是 n 次本原根。可见，现在我们说的素数和因子都属于数论的范畴。

注解

[ I ］似乎是1879年西尔维斯特第一次在这样的情况下使用了"分圆"一词。

[2］不要把"单位的 n 次本原根"与数论中的术语"一个素数的本原根"相混淆。一个数 g 是一个素数 p 的本原根，如果用 p 除以 g 、g²、g³、 g⁴、……、gᵖ⁻¹之后，余数是1、2、3、……、 p-1的某个重排列。例如，8是11的本原根。如果取8的从1到10次幂，会得到8、64、512、4096、32768、262144、2097152、16777216、134217728和1073741824。这些数除以11后取余数，得到8、9、6、4、10、3、2、5、7和1。所以8是11的本原根。另外，3不是11的本原根。3的前10次幂是3、9、27、81、243、729、2187、6561、19683和59049。把这些数除以11后取余数，得到3、9、5、4、1、3、9、5、4和1。所以3不是11的本原根。事实上，（素数的）本原根的概念与我正文中的这个概念相关，但是不相同。因为11是一个素数，单位的每一个11次方根是单位的一个11次本原根，但是在数论的意义下11的本原根只是2、6、7和8。

顺便提一下，现在我可以解释术语"分圆方程"的"更严格的意义"。它是一个方程，其解全是单位的n次本原根。所以在n =6时，它应该是(x+ω)(x+ω²)=0这样的方程，它的解是 x =-ω, x=-ω²。这个方程展开后是x²- x+1=0。

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文章来源：

代数的历史：人类对未知量的不舍追踪／（美）德比希（ Derbyshire , J .）著：冯速译．﹣北京：人民邮电出版社，2010.8

书名原文： Unknown Quantity : A Real and

Imaginary History of Algebra

ISBN 978-7-115-22537-5

.①代… II .①德…②冯… III .①代数一普及读物

IV .①015-49

中国版本图书馆 CIP 数据核字（2010 第043609号

内容提要

本书是一本介绍代数发展历史的科学普及读物，作者以轻松诙谐的笔触将数几千年来的重大事件和重要人物展现出来，让读者从一个侧面对整个数学的展有总体的认识。

本书适合中学生至大学生等各层次的数学爱好者阅读，也是研究数学史极价值的参考读物。

图灵新知

代数的历史：人类对未知量的不舍追踪

◆著［美］ John Derbyshire

◆译 冯速

责任编辑 朱巍

◆人民邮电出版社出版发行