二次函数中动点问题是学生普遍感觉难以理解的一类问题，通常在各类考试中以压轴题形式出现，容易给某些学生造成杀伤的崩盘可能，如何根据题目提供的信息，依据动点的变化特征，抓住解决问题的关键，从而化难为易，巧妙解决。下面将结合二次函数中最常见的一类与动点相关的最值问题的解题思路，剖析问题的关键，希望引起学生们的思考。

经典考题

1．（2019秋•惠州期末）如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；

（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；

【解析】（1）先求出点A，C的坐标，再将其代入y＝x²+bx+c可得抛物线的解析式为：y＝x²﹣x﹣6；

（2）在y＝x²﹣x﹣6中，对称轴为直线x＝1/2，

∵点A与点B关于对称轴x＝1/2对称，

∴如图1，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，

而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，

在y＝x²﹣x﹣6中，当y＝0时，x₁＝﹣2，x₂＝3，

∴点B的坐标为（3，0），

设直线BC的解析式为y＝kx﹣6，将点B（3，0）代入，得，k＝2，

∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，当x＝1/2时，y＝﹣5，

∴点D的坐标为（1/2，﹣5）；

（3）如图2，连接OE，

2．（2019秋•孝义市期末）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y＝ax²﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值；

（3）点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）由直线y＝x﹣4分别与x轴、y轴交于点A和点C都在抛物线上，则先求出A，C坐标，皆可满足y＝ax²﹣3x+c．由y＝ax2﹣3x+c中只有两个未知数，所以代入两点即可求系数a、c，则解析式抛物线的解析式是y＝x2﹣3x﹣4；

（2）作辅助线，构建等腰直角三角形，证明△EHC是等腰直角三角形，根据解析式表示D和E的坐标，根据EC＝ED列方程可解答，解得m＝0（舍去）或m=4-√2；

（3）存在．∴点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），∴0＜m＜4，

在抛物线y＝x²﹣3x﹣4中，当y＝0时，x²﹣3x﹣4＝0，

解得x₁＝﹣1，x₂＝4，∴点B坐标为（﹣1，0）．

∵∠FAE＝∠FEA＝45°，∴EF＝AF．

设△BFE的周长为n，

则n＝BF+FE+BE＝BF+AF+BE＝AB+BE，

∵AB的值不变，∴当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小．

∵当BE⊥AC时，∠EBA＝∠BAE＝45°，

∴BE＝AE，∴BF＝AF＝2.5．

∴m＝4﹣2.5＝1.5时，△BEF的周长最小．

3.（2019秋•灌云县期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

【解析】（1）将A，B，C三点代入y＝ax²+bx+c即可求解析式为：y＝x²+x﹣2；

（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m²+m﹣2），﹣2＜m＜0，求出直线AB的解析式，则点D的坐标为（m，﹣m﹣2），即可求出MD的长度，进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，由函数的思想即可求出其最大值，

S△MAB＝S△MDA+S△MDB

＝1/2MD•OA＝1/2×2（m²﹣2m）＝﹣m²﹣2m＝﹣（m+1）²+1，

∵﹣2＜m＜0，∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，

综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m²﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1；

（3）设P（x，x²+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标．

综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+√5，1﹣√5）或（﹣1﹣√5，1+√5）或（2，﹣2）．

反思总结

解答此类题目时，需注意：

第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；

第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；

第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当的分组，进一步得到新的结论尤其要注意的是，灵活充分地运用几何图形的相关性质往往获得事半功倍的效果，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。