八、排列组合中常见模型

（一）分组问题

由于涉及的面比较广，所以是排列、组合中的难点。如果只是断章取义的去教学，不从根本上去加以理解、归纳，那么就很难正确的解答各类题型，下面通过例题予以浅谈。

1、非均匀分组

所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

2、均匀分组

所谓“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

注：此类题型只要先分组再排列即可。

(二)全错位排列问题

每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题.

1．错位排列问题

例1. 4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有 种.

例2. 将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有 种不同的放法.

这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题.

例3.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种.

解析：可以分类解决：

第一类，所有同学都不坐自己原来的位置；

第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置；

第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.

对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题.

5.点评

在解决排列组合问题时，经常涉及到全错位或部分错位的排列问题，在元素不是很多时，我们可以通过分类讨论的方案，对问题进行讨论，但当元素较多时讨论起来非常麻烦，所以掌握了全错位排列数的一个通项公式和两个递推关系式，对我们解决这一类问题将带来很大的方便.

（三）利用隔板法巧解排列、组合题

隔板法是将相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的个数不限，求不同方法种数的一种解题方法。利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题。

1.放球问题。

例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？