20世纪数学的主要领域之一是拓扑学，法国大数学家庞加莱是其主要开创者。1904年，庞加莱提出一个问题，标准说法是：一个单连通的3维闭流形是否一定同胚于3维球面（任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面）？这便是日后著名的庞加莱猜想。

解释一下这句话的含义：单连通的——所有闭曲线收缩到一点，封闭的——闭合的环，三维流形——，三维球面——，同胚——等同，总的来说就是 任何一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。简单地说，这里有几个概念，封闭就是有界的意思；单连通就是没有孔，救生圈就不是单连通；流形就是一种形状，圆、双曲线、圆柱体、球体都属于流形；同胚就是可以有一个相同的起源，500年前是一家。这个猜想与其它六大猜想并称为"千禧年难题"，对于解答出来的数学家会奖励100万美元

流形是曲线、曲面等直观几何概念的高维推广，由于已没有直观形象，研究起来十分困难。单连通则是指在流形中任何一条闭曲线都可在流形中连续变形后缩为一点。这从2维球面上看得很清楚，而环面（如自行车内胎）上不是所有闭曲线可以缩成一点的，因此环面是非单连通的。同胚的大致意思是，两个图形在连续变换下是一回事，比如照片上的卓别林与哈哈镜里的卓别林就是同胚的。

空间的维数、空间如何弯曲、流形如何分类，这都是拓扑学家感兴趣的基本问题。为了对流形进行分类，拓扑学家对每个流形都配上一些拓扑不变量。只要两个流形的拓扑不变量不同，就足以断定两者不同胚，但反之未必（除了2维流形的判断全部不变量只有一个整数，即欧拉-庞加莱示性数——"面数+顶点数-棱数"的推广）。这时就需要加入更强的不变量，直到足以刻画流形的拓扑性质为止。2维到3维是步非常大的跨越，这一点超乎数学家的想象。

我们可以通过观察一个球（二维球面）和一个甜甜圈（圆环面）的边界来将庞加莱猜想具象化：在二维球面上的任何环都可以在不离开球面的同时收缩到一个点，但如果是一个绕着甜甜圈上的洞的圆环，它就不能在不离开甜甜圈表面的情况下进行收缩。

形象化可以这样理解：在一个空间中，用一只苍蝇，用一根线绑在苍蝇身上，（假设这根线无限细且没有重量。然后让苍蝇随意地到处飞。这样，手中的线就象风筝线一样不断地放出去，最后那个苍蝇还要飞回来，飞回来以后，把栓在苍蝇身上的线头解下来，和手中的线系在一起，这就构成了一个圈，或者叫一个绳套吧，能够把人勒死的那种。然后把这个绳套往自己怀里拉，拉呀拉，最后总能够把这个绳套统统都给拉回来。比如说，救生圈形状就不行，因为如果苍蝇在救生圈里飞了一圈回来，这个结成的绳套就肯定收不会来，而给挡在那里了。那么，这样的汽球就不符合要求。

也可以这样理解：有一个空间，在里面吹一个气球，如果气球足够大，足够薄，能用气球塞满整个空间，这个空间就是单连通、封闭的三维流形，救生圈那样的空间就不能满足这个要求。这个三维流形就是与气球同胚。

最初的数十年里，猜想未得解决，这并不妨碍更多数学家去关心拓扑学主干的建造。一个转折点是美国数学家瑟斯顿，他完成了几何方法的复兴。通过仔细研究三维流形的几何结构，他提出了几何化猜想，将庞加莱猜想蕴含其中。瑟斯顿也获得了菲尔兹奖，可惜人们一时也不知如何对付几何化猜想。另一位美国数学家汉密尔顿通过研究一个称作里奇流的偏微分方程，发现用它可对证明几何化猜想提供线索。但是哈密尔顿也不知如何下手，他成了接力赛中跑倒数第二棒的人。

到了1982年，汉密尔顿提出了一种几何分析的新技术——里奇流（如上图所示），他一直在寻找一种流函数，能让函数的能量在达到最小值之前一直减小，这种流动与热能在材料中的传播紧密相关。汉密尔顿认为空间的几何形状应该有类似的流动。他指出，对于里奇曲率为正的三维空间，流动会逐渐改变形状，直到度规满足瑟斯顿的这种几何猜想。

直到2002年，佩雷尔曼终于提出一种新方法：构造一个时空距离函数用来验证一般的非塌陷条件，还引入所谓的"比例尺论证方法"。用他改进过的哈密尔顿几何手术，可以保证随时间的演进手术精度会不断提高，这样就证明了几何化猜想！

人们对庞加莱猜想做了许多尝试，直到2003年，年轻的俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼出现了，他公布了一个绝妙的解决方案。佩雷尔曼的思想建立在另外两位杰出数学家威廉·瑟斯顿和理查德·汉密尔顿的工作之上。

2006年的菲尔兹奖颁奖仪式宣布，该奖授予证明了庞加莱猜想的佩雷尔曼，他的论证被多位顶级数学家反复测算证实。但佩雷尔曼本人拒绝领取菲尔兹奖，也拒绝领取美国克雷数学研究所为此设立的100万美元奖金。佩雷尔曼拒领菲尔兹奖，不仅如此，他还退出了数学界，这让其他数学家深感惋惜。佩雷尔曼本人长期深陷孤独，保持了纯洁的心，才得以证明庞加莱猜想，但也因此，让自己的心被撕裂成了两半，无法有效地聚合数学世界和现实世界。

2006年6月3日，中山大学的朱熹平教授和曹怀东以一篇长达300多页的论文，以专刊的方式刊载在美国出版的《亚洲数学期刊》六月号，补全了佩雷尔曼证明中的漏洞，给出了庞加莱猜想的完全证明。破解了国际数学界关注上百年的重大难题——庞加莱猜想。运用汉密尔顿、佩雷尔曼等的理论基础，朱熹平和曹怀东第一次成功处理了猜想中"奇异点"的难题，从而完全破解了困扰世界数学家多年的庞加莱猜想。 不过, 大家都公认是佩雷尔曼才是真正解决庞加莱猜想的人。某院士认为上述论文"第一次……给出了猜想的完整证明"，并操刀将这块肥肉一分为三："哈密顿做出了超过50%的贡献；佩雷尔曼做出了大约25%的贡献；丘成桐等人做出了30%的贡献。"

历史上，拓扑学的创立则是源于庞加莱和其他数学家试图解释牛顿和莱布尼茨发明的微积分理论中尚未阐释清楚的问题，该问题蕴含着关于"无穷小量"分析的严格化要求。几十年后，这门新兴的学科即开始登上前沿科学的舞台，并为世人提供无比慷慨的理论营养和应用前景。

随着人们对拓扑学认识的深入，它逐渐成为数学中最丰富多彩、魅力四射的分支之一，并开始在数学、物理学、工程学和其他科学领域孕育着重大的突破。比如物理学前沿的超弦理论正是建立在拓扑学的坚固基石之上，而超弦理论正是人们目前试图理解宇宙构成的最具想象力的理论。也因此，庞加莱猜想被誉为拓扑学中的圣杯。

佩雷尔曼在证明庞加莱猜想的过程中做出了决定性的贡献，在他的基础上，来自美国和中国的数学家均对庞加莱猜想的最终完全证明贡献了自己的力量。这一数学历史上的盛事，亦代表着人类永攀科学高峰的决心和智慧，终将以其光荣辉煌的时刻永载史册。