命题逻辑和词项逻辑的局限性

（1）它们都不能处理关系命题及其推理。

2小于3，3小于4，所以，2小于4。

有的投票人赞成所有的候选人，所以，所有的候选人都有人赞成。

（2）它们都不能处理量词内部含联接词结构的命题及其推理。

任意自然数，如果它能被2整除，则它是偶数；如果不能被2整除，则不是偶数。有的自然数不能被2整除，所以，有的自然数不是偶数。

（3）它们都不能处理多重量化。

如果任何一条鱼都比任何一条比它小的鱼游的快，那么有一条最大的鱼就有一条游得最快的鱼。

所以，我们还需要另外的逻辑——谓词逻辑，它把一个命题分为个体词、谓词、量词，很多时候还要加上联结词；它能够在一个统一的框架内同时处理性质命题和关系命题及其推理。

在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词。个体词是可以独立存在的事或物，包括现实物、精神物和精神事三种。谓词则是用来刻划个体词的性质的词，即刻画事和物之间的某种关系表现的词。如“苹果”是一个现实物个体词，"苹果可以吃"是一个原子命题，“可以吃”是谓词，刻划“苹果”的一个性质，即与动物或人的一个关系。

谓词逻辑是形式逻辑的最根本部分，也是最基本的逻辑系统或理论。在谓词逻辑中，除研究复合命题的命题形式、命题联结词的逻辑性质和规律外，还把命题分析成个体词、谓词和量词等非命题成分，研究由这些非命题成分组成的命题形式的逻辑性质和规律。谓词逻辑把命题逻辑作为子系统，但为了研究方便，同时也由于它具有某些重要的特殊性质，命题逻辑通常又作为一个独立的系统先研究，而在谓词逻辑部分则集中研究由非命题成分组成的命题形式和量词的逻辑性质与规律。只包含个体谓词和个体量词的谓词逻辑称为一阶谓词逻辑，简称一阶逻辑，又称狭义谓词逻辑。此外，还包含高阶量词和高阶谓词的称为高阶逻辑。谓词逻辑也分为经典的谓词逻辑和非经典的谓词逻辑，后者包括作为子系统的非经典的命题逻辑。经典的一阶谓词逻辑是谓词逻辑的基本部分。第一个完整的谓词逻辑系统是G.弗雷格在1879年建立的。K.哥德尔等人系统地研究了谓词逻辑的元逻辑问题，证明了重要的定理。

个体词

个体词就是表示对象域中的个体的符号，个体词分个体常项(用a,b,c,…表示)和个体变项(用x,y,z,…表示)。

个体变项使用小写字母x，y，z，…等等，表示某个特定的范围内的某个不确定的个体。个体常项使用小写字母a，b，c，…等等，表示某个特定范围内的某个确定的个体。个体常项相当于日常语言中的名字。

这里所说的“某个特定的范围”，叫做“论域”，既由一定对象所组成的类或者集合。论域规定了个体变项的取值范围，因此也叫做“个体域”。论域一般是“全域”，既由世界上所有能够被思考、被谈论的事物组成的集合；有时也取特定个体域为论域。

谓词、一元谓词及性质、原子公式

谓词分谓词常项(表示具体性质和关系)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，谓词符号用大写字母F，G，R，S，P,…表示.

若只把这些谓词符号用于单个的个体词，叫做“一元谓词符号”。经解释后，一个一元谓词表示论域中个体的某个具体性质。所有具有该性质的个体组成一个集合，这个集合即是该一元谓词的语义解释。

原子公式：如果一个谓词符号后面跟着写在一一对括号内的一个个体词（个体常项或个体变项），我们就得到“原子公式”，例如F（a），G（x），它们分别表示“a是F”，“x是G”。在派生的意义上，原子公式有两个可能的真值：真或者假。

注意，单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和谓词分开不是命题.

量词和量化公式

量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词（∀），表示“所有的”或“每一个”；存在量词（∃），表示“存在某个”或“至少有一个”.

量词有其管辖的范围，简称“辖域”。如果一个量词后面有括号，则处于括号内的公式构成该量词的辖域；如果量词后面无括号，则量词后面最短的公式，构成该量词的辖域。

一个变项的某一次出现，如果处于量词∀x或∃x的辖域之内的，或作为与该量词一起出现的变项（指导变项），则称该变项的这一次出现是“约束出现”，否则叫做“自由出现”。

一个变项，如果在一个公式中有约束出现，则称它是“约束变项”；如果在一个公式中有自由出现，则称它是“自由变项”。因此，一个体变项在一个公式中可以既是约束变项又是自由变项。

一个含有至少一个自由变项的公式，叫做“开公式”。开公式的意义不确定，没有确定的真假。例如：某个人是哲学家。一个不含任何自由变项的公式，叫做“闭公式”。在给定论域及其解释后，闭公式有确定的意义，也有确定的真假。

关系命题

关系命题包括三个要素：个体词、关系谓词和量词。

从形式上看，关系谓词与性质谓词没有实质性区别，只不过后者涉及一个个体，而前者涉及两个以上的个体。

发生在两个对象之间的关系叫做“二元关系”，发生在三个对象之间的关系叫做“三元关系”，依次类推，发生在n个对象之间的关系叫做“n元关系”。

例如：

二元关系：相等关系、大于关系、同学关系“…爱…”（约翰爱玛丽）

三元关系：“…在…和…之间”，“…+…=…”

一阶语言

一阶语言是命题逻辑语言的扩充，谓词逻辑是建立在命题逻辑基础之上的，所以，谓词逻辑即一阶逻辑它包括命题逻辑全部的东西，例如联结词等。

所谓一阶(形式)语言，就是用狭义谓词演算范围内的逻辑概念所表达的语言，具体地说，就是用个体变元、个体常元、函数符号、关系符号或称谓词符号（一般包括等号在内），以及与、或、非、蕴涵等命题连接词，还有“存在一个体”和“对一切个体”两种量词所表达的语言。其特点是，量词“存在”、“对一切”只允许对个体使用，不允许对集合或谓词等使用。它不包括“存在（个体集合的）一个子集”这样的量词。一阶模型论的语言是一阶语言。在一阶语言中，由任一组命题所成的集合T称为一个形式理论。如果有一个数学结构M，当用其中的概念解释T的命题中诸符号后，能使T的每一命题都在M中成立，则称M是T的一个模型。一阶逻辑的模型论是模型论的基础，事实上，任何一种逻辑系统都有各自的模型论。除各种逻辑的模型论外，模型论的新发展层出不穷：用模型论手法来研究逻辑系统也叫做模型论逻辑；用模型论方法比较各种逻辑系统的强弱，分析各种逻辑系统的特点，叫抽象逻辑的模型论；用递归论方法研究模型论问题产生递归模型论；只研究有限模型的构造和判定叫有限模型论；用模型论的思想去研究代数结构、群、环、模、域等叫做代数模型论；研究模型分类的理论叫稳定性理论。现代模型论对计算机科学也有一定影响。

（一）一阶语言的初始符号

Ⅰ，个体变项：x，y，z，…

Ⅱ，个体常项：a，b，c，…

Ⅲ，谓词符号：F，G，R，S，…

Ⅳ，量词：全称量词∀，存在量词∃

Ⅴ，联结词：¬，∧，∨，→，↔

Ⅵ，辅助性符号：逗号“，”，左括号“（”，右括号“）”。

（二）一阶语言的形成规则

Ⅰ，一个n元（n≥1）谓词符号F，后面跟有写在一对括号内、并用逗点适当分开的n个个体词，是原子公式。

Ⅱ，如果A是公式，则¬A是公式。

Ⅲ，如果A和B都是公式，则（A∧B），（A∨B），（A→B），（A↔B）是公式。

Ⅳ，如果A是公式，则∀xA，∃xA是公式。

Ⅴ，只有按以上方式形成的符号串是公式。

一阶语言的一些简写约定：

1，在不引起混淆的情况下，形如F(x)，R(a，b)，S（a，b，c）的公式可简写作Fx，Rab，Sabc。

2，联结词的结合力、以及公式外侧括号的省略规则同命题逻辑。

重叠的量词和重叠的量化式：

“重叠量词”指在一个量词的辖域内还有另外的量词。包含重叠量词的公式就叫做“重叠量化式”。

∀x（F(x)→∀yG(y)）

∀x∀y（F(x)→G(y)）

∀x∃x∀xF(x)

一阶语言中允许重复约束和空约束。

重复约束：∀x∀xF(x)，∀x∃xF(x)

重复约束时，只有最“里面”的那个量词起作用。

∀x∀xF(x)等值于∀xF(x)

∀x∃xF(x)等值于∃xF(x)

∃x∀xF(x)等值于∀xF(x)

∃x∃xF(x)等值于∃xF(x)

空约束：∀xF(y)

空约束的量词等于没有

∀xF(y)等值于F(y)

∀x∀yF(y)等值于∀yF(y)

∀y∀xF(y)等值于∀yF(y)