谁说玩具只是“玩乐的工具” ？

它还可以让人脑洞大开

一方面玩具往往是由生活应用衍变而来

另一方面，人们还可以从玩具中获得灵感

做出进一步发明来改变生活

今天这篇文章，为大家介绍

中国古代与数学、物理相关的玩具

大家可以在了解这些玩具的过程中

领略中国古代文明的博大精深

华 容 道

寻 找 最 优 解

曹操败走华容道是著名的三国故事

讲述的是曹操在赤壁大战中被刘备和孙权联手打败

逃跑时经过华容道，又遇上诸葛亮的伏兵

关羽为报答曹操的恩情，帮助他逃出了华容道

由此衍生出的游戏——华容道

华容道的棋盘上曹操占4格；关羽、张飞、赵云、马超与黄忠各占2格；四个兵各占1格。过程中只能利用盘面上两个空格留出的空间移动棋子来帮助曹操移到棋盘最下方中部逃出。

华容道有几十种布阵方法

如“横刀立马”、“近在咫尺”、“过五关”、

“水泄不通”“小燕出巢”等

诸多的排列方法，可以衍生出复杂棋局

而很多玩家在熟练游戏后

不再局限于帮助“曹操”逃出华容道

而是考虑如何用最少的步数逃出

所以，这其中包含着复杂的数学计算

1952年，我国数学家许莼舫在《数学漫谈》中

对华容道游戏就做了细致的研究

他在试验的基础上不断进行探索

总结出了华容道的规律和解法，可以概括为：

四个小兵不能分开，一定要两两组合在一起

关羽、曹操等大将在移动的过程中

前面需要两个小兵开路

曹操一旦移动，后面必须有两个追赶的小兵

后来又经过世界各国大师的努力

游戏解法步骤在逐渐减少

1964年3月，由美国律师托马斯·莱曼

得出了经典布局“横刀立马”的新解法

81步即可成功，这也是目前已知的最优解

现在我们手机上常见的滑块类游戏

大多都是华容道的演变

九 连 环

递 归 算 法

九连环是以金属丝制成的9个圆环

将圆环套装在横板或各式框架上，并贯以环柄

它的主体是九个环，一个套一个

并同时穿在剑形环柄上

环柄两端分别是柄把和柄钗

西汉时的卓文君就很喜欢拆解九连环

她写给夫君司马相如的信中如是说道：

“一别之后，二地相悬，

只说是三四月，又谁知五六年。

七弦琴无心弹，八行书无可传，

九连环从中折断，十里长亭望眼欲穿。

百思想，千系念，万般无奈把君怨。”

《红楼梦》中也有林黛玉拆解九连环的描写

周瑞家的把最后两支宫花送给黛玉时，原文有这样的文字：“谁知此时黛玉不在自己房中，却在宝玉房中大家解九连环顽呢。”

九连环的每个环是互相牵制的

拆解规则有两条：

第１环可以在任何时候放上或取下；拆解第Ｎ环(N > 1)，必须将第N-1环放在柄上，

而第1到N-2环全部取下；

实际这个过程就是数学上的递归算法

假设环的数量为n，解下每个环的步数为an

解开n连环所需总步数为Sn

根据拆解规则可以推出：

如若要卸下第n个环，就需要先卸下前n-2个环

其总步数就为Sn-2

这时再需要一步就可以把第n个环解下

而为了解下第n-1个环

还需把前面的n-2个环套上

装上前n-2个环需要Sn-2步

所以卸下第n个环需要an=2Sn-2+1步

1

2

3

4

5

6

7

8

9

an

1

1

3

5

11

21

43

85

171

sn

1

2

5

10

21

42

85

170

341

因此

解开九连环所需要的步数就是一道数列题：

已知S1=1，S2=2，an=2Sn-2+1,求Sn（n≥3）

当n=9时，S9=341，即最终需要341步

鲁 班 锁

榫 卯 结 构

鲁班锁也称“孔明锁”、“莫奈何”、“难人木”

相传是木匠祖师爷鲁班创制

在不使用钉子、绳子的情况下

用咬合的方式将木条交叉相交固定

最常见的鲁班锁由六根条棍组成

每一对条棍都和另外两对垂直交叉

鲁班锁与中国古代建筑的榫卯结构十分相似

几千年前，搭建房屋可没有钢筋水泥，而是纯木材

要让两块独立的木材固定在一起

就得给它们弄出凸起和凹槽

这样凹凸相对就能咬合住

同时，为了能承受来自不同方向的力

卡槽的方向、位置也不同

使木材能在不同维度上交连咬合住

就是“榫卯”

《中华遗产》2017.03

竖直方向的榫卯，称作管脚榫或套顶榫

插入柱础的海眼或透眼中，保证稳固性

柱头上往往做出馒头榫以卡住上部构件

而在水平方向上

十字相交的十字榫可以使得构件处于同一水平线

榫卯在中国传统建筑中必不可少

大到殿堂的斗拱，小到家具的把手

层层相叠的机构，看似砖而成砌

但又没有用到一砖一石

仅通过榫与卯之间通过木材的多与少

高与低、长与短之间的巧妙组合

有效地限制木件向各个方向的扭动

起联接和固定作用

古人云：“榫卯万年牢”

纪录片《紫禁城的秘密》中

木匠们按1:5的比例，以榫卯和斗拱的建筑结构

复制了一栋缩小的故宫模型

在地震模拟的反应中

整个榫卯结构模型出现轻微的晃动

在晃动之间消耗了地震传来的能量

使整个房屋的地震荷载大为降低

起到了抗震的作用

七 巧 板

勾 股 定 理 的 奥 秘

七巧板，顾名思义由七个块板组成

它的历史最早可以追溯到先秦时期的《周髀算经》

其中描述的正方形切割术，并由之证明的勾股定理

大正方形是一副七巧板

其中的两块大三角形可以拼成一个小正方形

其他的5块又可以拼成一个小正方形

将这三个正方形的边两两相连

a^2+b^2=c^2的公式就被这两副七巧板展现出来

《中华遗产》2009.12

到了宋代有一个叫的黄伯思的人，发明了一套

开始是六件后来增加为七件的长方形小桌

还创作了一些将这些小桌拼组的图形

可以依据这些图形根据客人数和需要的不同

桌子可以拼成不同的形状

他将这套小桌称作“燕几”

后来明朝的戈汕在他的《蝶几谱》里描述了

一套十三件的小桌

它们有六个尺寸形状，呈三角形和梯形

这些小桌被称作蝶几

因为它们的形状就如同蝴蝶的翅膀

清代时

七巧的造型用在了生活用品中，例如七巧攒盘

它通常被拼成正方形放置在木盒中

过年过节时可以用来盛放干果和甜品

瓷都景德镇就曾烧制过很多各种类型的七巧攒盘

在众多研究中，最早的也是最著名的问题是：

用一副七巧板可以拼出多少种不同的凸多边形？

内角和不超过180度的多边形，即四周皆朝外凸的多边形

解决这个问题的是两位中国学者王福纯和向全启

1942年，他们得出了最终的答案

其中凸三角形1种，凸四边形6种

凸五边形2种，凸六边形4种

饮 水 鸟

热 机 原 理

饮水鸟早在中国明朝时就已出现

它的外形像一只鸟，主体由玻璃制成

身体是一根玻璃管

管的上端是一个小球，是鸟的头部

下端是一个装有乙醚类易挥发液体的大球，即鸟尾

将鸟嘴浸到水里喝上一口

之后，鸟就会自动俯下身去不知疲倦的

一直重复“俯身——起身”的喝水过程

实际上，“饮水鸟”的设计蕴含了

物理学的热机原理

热机通过温度差产生机械运动从而对外做功

启动时，在鸟头的布上滴少许水

水在蒸发时大量吸热

使鸟头部分的温度、气压降低

又因为温度降低，乙醚蒸汽变得过饱和

会有少量乙醚蒸汽凝结成液体

蒸汽量变少，气体体积进一步缩小

并放热阻止温度降低

此时下球中的气压大于上球中的气压

热成像下可以看到头部、尾部的温度差异

下球中的乙醚液体沿玻璃管向上压

下球压强变小，里面的蒸汽变的不饱和

少量乙醚气化，下球里的乙醚蒸汽的量变大

同时从乙醚液体吸热， 于是整个鸟的重心上移

从而打破平衡状态

下球的乙醚液体就会被压到上球

进而使得鸟前倾“喝水”

此时，下球部分气体进入上

当两部分气体混合，上、下压强一致

液体将在自身重力的作用下倒流回下端

饮水鸟的重心再次下移, 于是渐渐直立起来

与此同时，头部由于刚沾了水又开始了冷却

就这样

鸟的头部不断被水打湿，不断产生气压差

饮水鸟就会不停地饮水

原理是通过气化液化传递热能

现在的喷气式发动机、活塞式发动机等

都是源于此物理现象

竹 蜻 蜓

简 易 直 升 机

竹蜻蜓是我国古代一大发明

两手一搓，马上松开就会飞上天空

相传公元前400年，中国人就开始玩竹蜻蜓了

不过其文字记载则是明代才有

看似简单的竹片和竹棍

却是直升机诞生的原型

竹蜻蜓的“叶片”前面圆钝后面尖锐

上表面略圆拱，下表面平直

当手搓动竹棍带动叶片旋转时

气流经过上表面时

因拱弧造成流速快但压力小

下表面则因平直流速慢但压力大

于是上下表面之间形成了一个压力差

产生了向上的升力

随着叶片越转越快，当升力大于竹蜻蜓的重力时

它就会腾空而起

15世纪中叶，竹蜻蜓传到欧洲

被称为“中国螺旋”

达·芬奇正是从它身上获得灵感

绘制出理想中的直升机图纸

而在几百年后经后人不断试验改进

诞生了真正的直升机

尽管直升机比竹蜻蜓复杂千万倍

但飞行原理却是一样的旋翼是竹蜻蜓的叶片

旋翼轴是竹蜻蜓的竹棍

带动旋翼的发动机则是搓竹棍的双手

中国玩具文化源远流长

无论是节令玩具、益智玩具，还是观察玩具

都令古代中国人的创造精神不断进化

并以此为镜子

将他们日常生活里的真性情折射给我们

参考文献：

中国老玩具的——应用学. 《博物》2015.06

榫卯：“拼”出一番天地来 . 《中华遗产》 2017.03

话题

留言区见

- END -

编辑 | 尹诗画

图源 | 网络

地理君小课堂2020年5月|4月|3月|2月|1月

2019年12月|11月|10月

春天的正确打开方式就是吃春菜

斐波那契数列：隐藏在自然界的数学之美