聊聊无理数的整数部分、小数部分

在小学阶段，学习完除法之后，我们会遇到商不是整数的运算结果，在人教版小学四年级下册中引入了小数，并且开始学习小数的加减运算，五年级上册开始学习小数乘除运算，并进一步学习小数与分数间的转化，打通它们的关联。

随着初中对数的认知扩展到有理数、实数，对于小数的认知，也相应提升到了新的高度。无限不循环小数的加盟，让小数在初中阶段成为“完全体”，至此，我们才算真正认知了小数，如下图：

其中有限小数和无限循环小数可化为分数，从而归入有理数，而无限不循环小数归入无理数。

在小数构造中，以小数点为界，可分为整数部分和小数部分，即任意小数a，由整数部分P和小数部分Q构成，即a=P+Q，当a>0时，P为非负整数，0<Q<1；

题目

已知a、b为有理数，m、n分别表示5-√7的整数部分和小数部分，且amn+bn²=1，求：

(1)m，n的值；

(2)a：b的值；

(3)2a+b的值.

解析:

(1)对于单独的无理数√7，我们可知它的范围在2<√7<3，于是它的整数部分为2，小数部分用这个数本身减掉它的整数部分即√7-2；

同样的，5-√7的范围可以从前面推导得到：

-3<-√7<-2

5-3<5-√7<5-2

2<5-√7<3

因此5-√7的整数部分也是2，下面我们来找它的小数部分，即用这个数本身减掉2，即5-√7-2=3-√7；

所以m=2，n=3-√7；

(2)我们将前面求得的m，n分别代入amn+bn²=1中，得：

2(3-√7)a+(3-√7)²b=1

6a-2√7a+16b-6√7b=1

由于a、b为有理数，我们将等式左侧按有理数、无理数分组，如下：

(6a+16b)-2√7(a+3b)=1

显然一个非零有理数乘以无理数，结果一定是无理数，因此a+3b一定为零，所以a:b=-3；

(3)仍然由前面的等式，6a+16b=1和a+3b=0，解得a=3/2，b=-1/2，于是2a+b=5/2；

解题反思：

这是作业中的一道题，相对而言，学生理解整数部分和小数部分产生的困难，多数是对于小数概念的领悟不够，继续追根溯源，小数构成需要对数位有更深入的理解，在运算过程中，进位、借位的原理，都与整数部分、小数部分有关。

例如4-2.56，其实我们在计算时是将它作为两部分，第一部分是从4借走一个1，完成1-2.56，然后剩下的3和2进行减法，完成3-2，然后将结果相加，写成算式为(3-2)+(1-2.56)；

我们将上述算式改成5-√7，仍然要分两部分计算，写成算式为：

4减掉√7的整数部分，1减掉√7的小数部分，结果再相加；

前面好理解，√7的整数部分是2，所以5-√7的整数部分是4-2=2；

然后是1减掉√7的小数部分，1-(√7-2)=3-√7；

在八年级，学习二次根式的过程中，进一步完善了无理数的认知，在学习完勾股定理之后，还能在数轴上作出代表无理数的点，从而真正完成了实数的扩展。

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