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力扣 69. X 的平方根（点击查看题目）

题目描述

实现 int sqrt(int x) 函数。

计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例 1:

示例 2:

解决方案

二分查找法应用于搜索平方根的思想很简单，其实就是“猜”，但是是有策略的“猜”，用“排除法”在有限的区间里，一次排除一半的区间元素，最后只剩下一个数，这个数就是题目要求的向下取整的平方根整数。

牛顿法最初提出的时候，是用于求解方程的根，它的基本思想是“以直代曲”，在迭代中搜索得到方程的近似解。

方法一：二分法

思路分析：使用二分法搜索平方根的思想很简单，就类似于小时候我们看的电视节目中的“猜价格”游戏，高了就往低了猜，低了就往高了猜，范围越来越小。因此，使用二分法猜算术平方根就很自然。

一个数的平方根肯定不会超过它自己，不过直觉还告诉我们，一个数的平方根最多不会超过它的一半，例如 8 的平方根，8 的一半是 4，4^2 = 16 > 8，如果这个数越大越是如此，因此我们要计算一下，这个边界是多少。为此，解如下不等式：

意即：如果一个数的一半的平方大于它自己，那么这个数的取值范围。解以上不等式得 a ≥ 4 或者 a ≤ 0。

于是边界值就是 4，那么对0、1、2、3 分别计算结果，很容易知道，这 4 个数的平方根依次是 0、1、1、1 。

注意：这 4 个特值如果没有考虑到，有可能导致你设置的搜索边界不正确。在使用二分法寻找平方根的时候，要特别注意边界值的选择，以下给出两个参考代码。

参考代码 1：所有的数都放在一起考虑，为了照顾到 0 把左边界设置为 0，为了照顾到 1 把右边界设置为 x // 2 + 1 。

Python 实现

Java 实现

Java 代码要注意到：如果中点 mid 声明为 int 类型，针对大整型测试用例通不过，因此变量需要声明为 long 类型，下同。

参考代码 2：事实上，只要单独照顾一下 0 这个特例就可以了。

​Python 实现

Java 实现

注意： 这里二分法的使用是有技巧的（如果你没有意识到，这里很可能是个“坑”），下面我就上面注释中提到的：

注意：这里一定取右中位数，如果取左中位数，代码可能会进入死循环。

做一些解释。当 x = 9 的时候，我们不妨给“错误的”代码加上一些调试语句，这样你就会更清晰地发现死循环在什么时候出现，例如：

Python 实现

控制台输出

分析：如果取中点为左中位数，你看到死循环发生在 left = 3， right = 4 的时候，此时 区间只有 2 个元素。这是为什么呢？

此时索引区间 [3, 4] 的中位数为左中位数，即 mid = 3 ，此时 square = 9 < 9 不成立，进入 left = mid 这个分支，你发现问题了吗，区间不发生收缩，即下一轮循环的索引区间还是 [3, 4]，此时中位数还取左中位数，即mid = 3 ，square = 9 < 9 不成立，又进入 left = mid 这个分支，死循环就是这样产生的。

接着，请你把 mid = left + (right - left) // 2 改成mid = left + (right - left + 1) // 2 ，即选择右中位数，再观察一下控制台输出，就知道此时为什么要选右中位数了。

这个二分法模板我用了很久，感觉非常好用。于是我专门把这个二分法模板好用的地方、使用它的技巧和注意事项整理在了「力扣 」第 35 题：搜索插入位置的题解 《特别好用的二分查找法模板（Python 代码、Java 代码）》，希望能对大家有所帮助。

复杂度分析：

时间复杂度：O(log N)，二分法的时间复杂度是对数级别的。

空间复杂度：O(1)，使用了常数个数的辅助空间用于存储和比较。

总结： 使用二分查找法搜索，注意特值对搜索边界的影响。

以下这部分内容是根据与用户 @lukas 在本题解下的讨论而添加的。

在这里补充一下，如果你实在不太想分析 a 的平方根可能的上界，之前说了，它肯定不会超过 a 自己，即使你把上界写成一个很大的数，例如 999999，这个数必须得是力扣的测试用例都达不到的数，在二分查找的过程中，不符合要求的数每次会被很快砍掉一半。

参考代码 3：干脆我不讨论 a 的边界，让二分法去排除不符合的区间吧，对数级别的时间复杂度对性能不会有很大影响。

Python 实现

Java 实现

方法二：牛顿法

使用牛顿法可以得到一个正实数的算术平方根，因为题目中说“结果只保留整数部分”，因此，我们把使用牛顿法得到的浮点数转换为整数即可。

这里给出牛顿法的思想：

在迭代过程中，以 直线代替曲线，用一阶泰勒展式（即在当前点的切线）代替原曲线，求直线与 X 轴的交点，重复这个过程直到收敛。

说明：

1、以上图片来自《牛顿法与拟牛顿法》；

2、@LOAFER 的题解《牛顿迭代法》 的图和文字说明更好，而知乎问答《如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方？数值分析？》里面干货就更多了，建议大家出门左转观看，我这篇题解只是展示一下迭代公式如何计算。

注意：牛顿法得到的是平方根的浮点型精确值（可能会有一定误差），根据题目中的要求，把最后得到的这个数转换为 int 型，即去掉小数部分即可。

对“牛顿法”感兴趣的朋友们可以查一下牛顿法的应用：一个是求方程的根，另一个是求解最优化问题，在这里就不展开了。

参考代码 4：

Python 实现

Java 实现

说明：1e-6 是科学计数法，表示 1 乘以 10 的负 6 次方，也就是 0.000001。有的地方使用 epsilon 表示 1e-6 ，用来抵消浮点运算中因为误差造成的相等无法判断的情况，它通常是一个非常小的数字，具体多小要根据你的精度需求来设置。

​复杂度分析：

时间复杂度：（待讨论）

空间复杂度：O(1)，使用了常数个数的辅助空间用于存储和比较。

本文作者：liweiwei1419

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