动态背景下的函数交点数量探究——2021年湖北省宜昌市中考数学第24题

关于函数交点，最初的描述出现在八年级下学期一次函数，两个一次函数的图象是两条直线，因此这种最为简单的函数交点即为直线交点，显然两条直线如果相交，交点是唯一的，求交点的方法是联立方程组再求解；

情况在学习二次函数之后变得较为复杂，抛物线是曲线，因此在学习二次函数与一元二次方程的关系之后，我们掌握了抛物线与直线的交点探索方法，仍然是联立方程，此时交点的数量开始有了多种情况：两个、一个、零个，我们可用根的判别式来判断其数量；而两根抛物线的交点，以及抛物线与双曲线的交点问题，大致可类比上述方法，但在初中阶段，难度不宜过高。

若函数解析式本身已确定，这些问题就是教材上的例题或习题，若解析式中含有参数，那么问题相对就复杂了，难度也就上升至综合题级别，只不过，探索的方法却不会变，即用常规常法解决压轴题。

题目

在平面直角坐标系中，抛物线y1=-(x+4)(x-n)与x轴交于点A和点B(n,0)(n≥-4)，顶点坐标记为(h1,k1)，抛物线y2=-(x+2n)²-n²+2n+9的顶点坐标记为(h2,k2)

(1)写出点A坐标；

(2)求k1，k2的值；(用含n的代数式表示)

(3)当-4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；

(4)经过点M(2n+9,-5n²)和点N(2n,9-5n²)的直线与抛物线y1=-(x+4)(x-n)，y2=-(x+2n)²-n²+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值.

解析：

(1)由于抛物线y1本身就写成了交点式，因此可以直接观察并写出A(-4,0)；

(2)求抛物线顶点纵坐标的方法，通常是将原解析式写成顶点式，显然y2的解析式已经符合要求，所以k2=-n²+2n+9；

对于y1的顶点，配方法可能会有点麻烦，我们取点巧，利用交点式，先求对称轴，即线段AB中点横坐标，h1=-2+n/2，再代入到y1解析式中求得k1=1/4(n+4)²；

(3)在前一小题的基础上，比较k1和k2的大小关系，常规方法是求差法，即k1-k2=5/4n²-5，

若k1-k2>0，可得n²>4，于是n>2或n<-2，结合本小题的限制条件，所以-4≤n<-2或2<n≤4；

若k1-k2<0，可得n²<4，于是-2<n<2；

若k1-k2=0，可得n²=4，于是n=±2；

在求差法的方向，还有一个分支方法，代值法，即在相应范围内取n的数值，计算后得到k1和k2的大小关系；

我们还可以将k1和k2看作关于n的二次函数，利用增减性来解决，前提是确定好“分界点”，所以先联立方程1/4(n+4)²=-n²+2n+9，解得n=±2，结合-4≤n≤4，可得到如下五种情况：-4≤n<-2，n=-2，-2<n<2，n=2，2<n≤4；

每一种情况下的大小比较，用图象来解决更直观一些，如下图：

无论取特殊值计算或是图象直观，可得结果如下：

-4≤n<-2时，k1>k2；

n=-2时，k1=k2；

-2<n<2时，k1<k2；

n=2时，k1=k2；

2<n≤4时，k1>k2；

(4)本小题是难点，新增条件仍然是含参数的点，并且坐标要细看，不要混淆。

既然是探索直线与抛物线的交点数量，那么我们先写出直线解析式，设MN为y=kx+b，代入点M(2n+9,-5n²)、N(2n,9-5n²)，解得k=-1，b=-5n²+2n+9，于是直线MN为y=-x-5n²+2n+9;

我们将抛物线y1和y2一般式也写出来观察比较：

y1=-x²+(n-4)x+4n

y2=-x²-4nx-5n²+2n+9

突破口正在观察比较后！直线MN与抛物线y2经过y轴上同一个点！

以这个点为“起点”，这个点是否直线MN与抛物线y2的唯一公共点？哪个点是唯一公共点？我们先联立直线MN与抛物线y2，得x²+(4n-1)x=0，解得x1=0，x2=1-4n，

①若直线MN与抛物线y2有唯一公共点，且横坐标为0，则可得n=1/4，此时直线MN和抛物线y1解析式可求，分别是y=-x+33/4和y1=-x²-15/4x+1，联立得到的一元二次方程无实数根，因此不符合；

于是我们可知道，除这种情况外，直线MN与抛物线y2始终有两个公共点，那就好办了！

但不可忽略一种特殊情况，那就是抛物线y1也经过这个y轴上的点(0,-5n²+2n+9)；

②若抛物线y1经过点(0,-5n²+2n+9)，-5n²+2n+9=4n，解得n=(-1±√46)/5，先不忙高兴得到结果，抛物线y1与直线MN此时有几个公共点？你知道吗？

我们联立直线MN与抛物线y1，得方程-x-5n²+2n+9=-x²+(n-4)x+4n，计算出它的判别式△=21n²+2n-27，不妨令它为零，解得n=(-1±2√142)/21，显然和前面所得n值不同，所以当抛物线y1经过点(0,-5n²+2n+9)时，抛物线y1与直线MN有两个公共点，此时n的两个值，n=(-1±√46)/5；

③若抛物线y1不经过点(0,-5n²+2n+9)，那必定和直线MN有唯一公共点，借助前面探究出来的结果，联立直线MN与抛物线y1，得方程，求判别式△，令△=0，解得n=(-1±2√142)/21；

综上所述，经过验证，在n≥-4范围内，满足“公共点恰好为3个不同点”条件的n值有四个，(-1±√46)/5，(-1±2√142)/21.

解题反思

这道题的难度呈阶梯状上升，起点很低，在第3小题进行分类讨论时，有着明显的区分度，毕竟作差比较是一种常见的方法，也是教材中出现过的方法，求差之后得到的代数式属于特殊二次多项式，同时也给擅长利用二次函数图象解决问题的学生留下一条宽阔大道，数形结合效率肯定会更高一些。

在第4小题中，关于交点数量的探究，为什么会抓住直线MN与抛物线y2的公共点呢？这种思路形成的原因是对它们解析式的观察，常数项相同，意味着都经过y轴上同一个点，这个点一定是三个交点中的一个，继续追问这个点，是否唯一公共点，另一条抛物线是否经过这个点，思路由此打开；

同时，在探究交点数量的过程中，要不断提醒自己，直线与抛物线有多少个公共点？是否满足限制条件？

也可以换一条思路，直线MN与两条抛物线y1和y2共有三个不同的公共点，其中有一个公共点一定是(0,-5n²+2n+9)，则剩下两个公共点要么都在y1上，要么分别在y1和y2上；

从直线与抛物线位置关系上看，一条直线和一条抛物线，位置关系有三种，相离、相切、相交，分别对应有零个，一个，两个公共点，当直线和其中一条抛物线相离时，交点总数不可能有三个，因此排除，则直线必然与这两条抛物线相切或相交，若有相切情况存在，直线MN与抛物线y1相切，同时与抛物线y2相交；或者直线MN与抛物线y1相交，同时与抛物线y2相切；若均为相交情况，则存在交点重合情况，即直线MN、抛物线y1、抛物线y2都经过同一个点；

当然肯定不止这三条思路，只要遵循不重复、不遗漏的原则即可。

这道压轴题，第4小题思维难度较大，极考验学生的数学逻辑和几何直观，虽然事实上这道题可以不作图，但对于平时认真学习的学生，作出草图再进行探究，无疑效率会更高。

对于学生解题过程中的作图要求，本题并没有明显要求，只是给出了参考图，需要自己画抛物线、直线，学生当然不可能绘制出几何画板那样的标准图形，但平时的学习积累越多，就越接近标准图形，那么出错的概率相应会降低，从这个概论可以看出教师平时教学中，对于学生动手操作是否认真对待，这也是对这部分学生背后用心教学的教师偷偷地奖励。

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