我们一直反复在说，要尽可能吸收题目的营养，要提升做题效率。用较少的习题，达到较多的训练效果，这是脱离题海困境唯一的路。

　　但“吸收营养”、“提升效率”，这些说法都太虚了，谁不想做一题顶十题，可关键是要怎么做才能达到这个效果？

　　对于中高年级来讲，有一种方法对此帮助极大，也就是今天要讲的一题多解。

　　今天不妨以大家极为熟悉的鸡兔同笼问题为例，给家长们谈谈一题多解的重要性。

　　当然，对于孩子来讲，光说重要性就远远不够了，因为人有天生的惰性，几乎不可能为了长远的重要性，而心甘情愿在当下付出数倍努力。

　　所以在给孩子讲为啥要一题多解时，难度就要大很多。这要求老师在引入一种方法时，还要给出与之匹配的提升问题，倒逼孩子们感受到其他方法的局限性。

　　这样的体验多了，他们才能切身感受到单一方法的局限，以及其他方法的妙处，才能慢慢摆正心态，接受一题多解的学习方式。

　　在下面的讲解过程中，我们也会提供这方面的引导。

　　鸡兔同笼的标准问题，是这样的。

　　例1：笼中装有鸡和兔，共有头10个，共有脚32只，请问鸡和兔各有几只？

　　这题的解法相当多，通常大家在3、4年级奥数题里，会讲这些方法。

　　方法1：假设法

　　先假设全是鸡，那么应该有10×2=20只脚，但是实际有32只脚，因此我们假设的不对，需要把某些鸡换成兔。那么换几只呢？

　　把1只鸡换成1只兔，脚从2只变成4只，即增加2只，现在我们共需要增加32-20=12只脚，因此需要换12÷2=6只，因此有6只兔，4只鸡。

　　上述过程，可以简单用下图来表示。

　　方法2：抬脚法

　　让鸡和兔都抬起两只脚，共抬起10×2=20只脚，还剩32-20=12只脚。这样鸡就没有脚了，而兔子还剩两只脚。此时的脚全部都是兔子的，因此兔子有12÷2=6只。

　　上述过程，可以简单用下图来表示。

　　方法3：公式法

　　这个没啥好说的，属于我们最不推荐的那一种。

　　兔子只数=（鸡兔的总腿数-2×鸡兔的总只数）÷2

　　=（32-2×10）÷2

　　=6只

　　大家不难发现，这个公式本身就是上述两种思路的推理结果，只是非要跳过过程，强行总结出一个公式出来，实在是莫名其妙。

　　好了，中低年级常见的三种方法已经介绍完了。除了第三种完全不推荐，一二两种方法都挺巧妙，对训练中低年级数量关系有一定帮助。

　　多数同学，学到这里就会非常满足了。因为无论用方法1还是方法2，都可以完美解决标准的鸡兔同笼问题。

　　但实际上，这是远远不够的。为了说明这一点，这里要出一个扩展案例。

　　例2：笼中装有鸡和兔，共有头10个，鸡脚比兔脚少22只，请问鸡和兔各有几只？

　　这题唯一的变化，是把鸡脚和兔脚的和，变成了鸡脚和兔脚的差。

　　不少同学，遇到这点局部变化就不会下手了，就是根本还没理解题目的精髓。

　　首先，如果学的是公式法，将会被直接淘汰掉。因为公式的局限性极大，只能适应标准问题，根本无法做到举一反三。

　　而一些技法，还可以拿来用一用。比如这题，利用假设法还是可以处理的，但有些局部需要调整，这需要学生自己分析出某些数量关系，要求就高了一些。

　　假设法：

　　假设全是鸡，那么鸡脚有10×2=20只，兔脚有0只。此时鸡脚比兔脚多出20只。如果换一只兔，鸡脚少2只，兔脚多4只，二者之差就变化6只。因此需要换(20+22)÷(2+4)=7只兔。

　　这里有两个难点，一个是换一只兔，脚差值不再是原来的4-2=2只，而是4+2=6只。第二个难点，假设时鸡脚比兔脚多，最后鸡脚比兔脚少，二者要相加20+22。

　　经过测试，在没见过也不讲的前提下，能依靠原始假设法，同时把这两点想明白做对的同学，比例还是很少的。

　　这是因为，大家在学习和使用假设法的时候，只关注如何去用，却从未想过方法是如何被总结出来的。这导致一旦假设路径变化，就用不出来了。

　　讲到这里，就要再提出一种方法，列表法。

　　这是苏教版6年级课本在讲鸡兔同笼问题时提供的方法，展示一下：

　　方法4：列表

　　考虑到鸡和兔都是整数，无非是某些组合而已，因此可以列表试探：

　　如表，我们试探了4次，就直接把答案试探出来了，鸡为3只，兔为7只的时候，脚相差22只。

　　有些同学非常鄙夷这种方法。因为课本问题比较简单，都是标准问题，直接套公式或者用假设法就能做出来的。

　　但你发现，如果真的略有变化，比如这题要算脚的差值，那么通过列表就非常容易做，列算式反而不太容易了。

　　甚至如果你观察比较仔细，从表中很容易就找到规律，即每增加一只兔，差异是要减少6。这样再去列算式，就会简单很多。

　　所以列表法的精髓，并不是真的要去一行行列出来，比如鸡兔和有100只时，根本不会有人去这么干的。列表法真正的精髓，是把某几行的数据详细展示出来，并以此找到明确的规律，再利用这种规律帮助我们列式计算。

　　从这个角度来看，列表法是比假设法更底层的方法。它适用的场景更多，更容易搞清局部变化，起点路径更灵活。至于假设法，只不过是列表法的一种结果而已。

　　多说一句，大家应该非常重视列表法。它在枚举、找规律等领域是底层核心方法，除了鸡兔同笼问题以外，还能解决海量的问题。

　　学到这里，有四种方法了，够了么？

　　其实仍然是不够的，因为这题如果再变化一下，管你假设还是列表，都很难解决。

　　例3：笼中装有八爪鱼和双头猫，共有头25个，共有脚80只，请问八爪鱼和双头猫各有几只？

　　大家不要被这题的表层迷惑，认为是在故意难为大家。事实上，六年级试卷中有很多题目的底层结构，与此几乎一致，这里只不过以鸡兔问题的形式来阐述而已。

　　这题假设法很难列出式子，列表法也很难找出规律（除非一种一种去列表试探）。究其原因，刚才那些题目很容易找到规律，主要在于无论如何换，它们的头总量是不变的。

　　而这一题，在底层结构上变复杂了，因为一旦换鱼为猫，非但脚数会变，头数也会变，这就动摇了假设法的基础。

　　类似的双变量问题，很显然是方程的解决领域。因此高年级的方程法，是必须要学，也必须要学好的。

　　解：设猫为x只，则猫头有2x个，则鱼有（25-2x）只。

　　鱼脚+猫脚=80

　　8（25-2x）+4x=80

　　解得 x=10

　　答：双头猫有10只，八爪鱼有5只。

　　方程法，才是解决双变量问题的绝佳方法。这也是我们到了高年级后，遇到复杂变量关系时，会首选方程法的主要原因。

　　总结

　　公式法、抬脚法这种，虽然看似直观，但属于局部小技巧，根本无法推广适用。

　　假设思想，是具有一定推广意义的算法。但推广难度稍高，且有一定局限性。

　　列表找规律，其实是假设法的源头。而且列表是很底层的分析方法，在枚举、找规律等多种问题中有广泛用处。

　　至于方程，无需多言，双变量等更复杂的变量关系中，它是快速解决问题的王者。

　　所以你看，看似一题，其实如果展开来讲，能帮助我们学习各种解题方法，同时理解它们的局限性，以及在某些领域内特定的优势。

　　你掌握的方法越多，对每种方法理解越深刻，就越能把数学学成一个交叉体系。在今后的考试中，才有能力在短时间内找到最优方法，获得超高的解题性价比。

　　而平时只满足于一种方法的孩子，是远远无法达到这个境界的。

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