原文：plus.maths.org/content/os/issue29/features/quadratic

译者：道可道 翻译小组成员

校对：公理 翻译小组成员

混沌理论中的一元二次方程

想象你是位研究某类昆虫的生物学者，长久以来观察该种群历年数量模式的变化。假定在一个简单的模型里，某些昆虫一年只会繁殖一代，且第二年的数量将只取决于上一年的数量。也就是说，如果 xn 是 n 年的数量， 那么xn+1 将是关于 xn 的函数。

现在考虑这样非常简单的模型，假设一个存活率 a, 则a*xn是繁殖后的存活下来数量，并且 b*xn² 是死于资源短缺. 为了简化方程，我们可能需要重新调整比例来得到下列的一元二次方程：:

对于某个确定的数字 r>0 和 初始数量 x1. 严格来说，我们定义了一个关于一元二次方程关于常数 r 的整个方程族。这个族中的每个成员作为逻辑斯蒂映射而为人熟知。

想要算出这些昆虫数量还需要做一些数学计算。你可以用如 Excel 里来尝试。在单元A1放置初始数据，应该在 0 和 1 之间。然后在单元 A2 里敲入函数公式

= 4*A1*(1 - A1)

当然这里 r=4，然后求出的这个结果，A2 单元里值就等于第二年的昆虫数量。现在，复制单元A2的内容到A3,A4等等. Excel 和其他的电子表格的好处在于能够自动引用上面的单元函数公式和数值。然后 Excel 将自动计算若干年的昆虫数量。你也可以修改 A1 单元里的初始数据。你或者可以改变参数 r 的值，比如在上述例子里只设置为 4.完成了这个之后，你可以再次复制新公式到所有的单元里。或者将整个昆虫种族历年来数量制到一张折线图上。

上面的数字显示出 x1=0.2 和r=3.7 时的逻辑斯蒂映射。注意这个系统里看上去很复杂的、不可预测的行为。左边是一个图表。右边的图像是蛛网图，因为像蜘蛛网而知名。这个图示过程可以帮你设想昆虫数量的情况。

为了绘制一个蛛网图，第一件要做的事是选择r 的值，然后在蛛网图上画一元二次方程。再在 x 轴上画初始数量 x1 ，同时画直线y=x。根据定义x2 的值算出 rx1(1-x1)，也就是图上x1 的值。从 x1 画一条垂直线直至和图相交。再从 x2 画一条水平线直到直线y=x。现在我们在 x 轴上得到了 x2 的位置，并可重复这个过程。为了找到 x3，我们能够在图上画另一条垂直线，再画一条水平线到 y=x。整个绘图过程需要反复迭代进行，由于标有数字而不会看不清。那用一个类似蛛网图形你会清楚地明了进行的一切过程。

下面动图来说明当 r 的不同值时候的实验.(原网页有Java applet的交互小程序)

这些一元二次方程的逻辑斯蒂映射产生的混沌演化过程，是应用数学中近代令人振奋的部分。混沌系统被用来描述一个以明显随机方式表现的系统，即使当这个系统自身不是随机的。最令人惊讶的就是在于此：

尽管系统简单但其一系列演化后行为却会变得极端复杂。

例如，下面我们展示当你取两个非常接近的初始数值时会发生什么。特别的，我们以 x1=0.2 和 x1=0.2001，这两个相当接近的初值开始。经过若干次迭代之后，其结果就大相径庭。如果你想预测数量，而不慎重对待初始值的选取，这种行为无疑将是一场灾难。

事实上，混沌行为还说明了更多信息。如果你在估计昆虫最初始数量上稍有闪失，那很快你的预测将会是完全错误的。你应该用电脑和 r=4 时的逻辑斯蒂映射自己动手做一些实验，以了解它是怎样产生的。那么你将会发现的，也并不是所有 r 值都将产生混沌状态。因此，科学家和数学家试图了解特定系统何时产生了混沌现象，而不是试图预测昆虫种群，因为这种预测或许是不可能做到的。 了解这一点可以让我们知道预测何时是准确的，而什么时候压根儿没戏。

一元二次方程，我再也不怕你了!

结论

我们列出了一元二次方程许多的应用，及在人类历史上所扮演的重要角色。其实还有更多的应用，来说明一元二次方程是不可缺少的。作为一个挑战，你能把下面应用列表拓展到101项吗？

橄榄球，落地式大摆钟，兔子，面积，唱歌，税，建筑，日晷，刹车，电子产品，微芯片，冰箱，向日葵，加速度，行星，弹道学，射击，跳跃，小行星，量子理论，混沌理论，微分方程，望远镜，高尔夫……（完）