这道高中数学的选择题，涉及到分段函数的性质和向量的运算。题目有点难度，想要一口气吃下去怕是有一点难。我们要大胆探究，找一找它的突破口。先来看看题目是怎么说的。

已知A,B是函数f(x)={-e^(x-2a)，x>=a; f(2a-x)，x<a} (常数a>0)图象上的两个动点, 点P(a,0), 若向量PA·向量PB的最小值为0, 则f(x)的最大值为( )

A. -1/e^2; B. -1/e; C. -根号e/e^2; D. -根号e /e.

分析：当我们找不到突破口时，我们可以大胆假设a=1，试一试结果会怎么样。这时候f(x)={-e^(x-2), x>=1；f(2-x), x<1}，且P(1,0).

当x<1时, 2-x>1, ∴ f(x)={-e^(x-2)，x>=1；-e^(-x)，x<1}，即分段函数的两段函数都可以有具体的解析式，因此问题就比较好解决了。

因为y=-e^(x-2)是减函数，而y=-e^(-x)是增函数，所以函数的最大值在x=1取得，即f(1)=-1/e，此时最大。

不过这并不一定是这道题是答案。就算和答案一样，也只是凑巧罢了。因为我们还没有用到向量PA·向量PB的最小值为0，这个关键条件。

但是不能说上面的分析是没有用的，因为上面的分析给了我们一个很重要的启发，就是想解决这个问题，必须明确两段函数的解析式，主要是第二段函数，当x<a时的解析式必须求出来。事实上，这是可以做到的。

当x<a时, 2a-x>a,∴ f(x)={-e^(x-2a)，x>=a；-e^(-x)，x<a}，和上面类似的，因为y=-e^(x-2a)是减函数，而y=-e^(-x)是增函数，所以函数的最大值在x=a取得，即f(1)=-1/e^a，此时最大。现在的问题是求a的大小。我们可以画一个草图，来借助理解，如下图：

由两个向量的积的最小值是0，我们可以知道它们的夹角的最大值是90度。而只有当A，B在两段不同的函数图像上时，夹角才有可能取最大值。因此我们不妨设A(x1,y1), B(x2,y2), 且x1>a, x2<a, 即A在右侧一段函数的图像上，B在左侧一段函数的图像上。

又当PA, PB分别与两段图像相切时, 两个向量的夹角最大，所以我们分别可以求两段函数的导数，忽略掉x=a的导数，因为在这一点是否可导需要分析，会增加题目的运算量。

当x>a时, f’(x)= -e^(x-2a), 当x<a时, f’(x)=e^(-x),

∴直线PA的解析式为：y+e^(x1-2a)= -e^(x1-2a)(x-x1), 这是直线解析式的点斜式的运用。

将P(a,0)代入上式得, 0+e^(x1-2a)= -e^(x1-2a)(a-x1), 解得x1=a+1.

同样的道理，PB的解析式为：y+e^(-x2)= -e^x2(x-x2),

将P(a,0)代入上式得, 0+e^(-x2)= e^x2(a-x2), 解得x2=a-1.

这就得到了A点和B点的坐标，分别为：A(a+1,-e^(1-a)), B(a-1,-e^(1-a)),

最后运用向量求积的公式，可以得到：向量PA·向量PB=(1,-e^(1-a))(-1,-e^(1-a))=-1+e^(2(1-a))=0, 解得a=1. 所以f(x)=-1/e恰巧就是最大值。

千万不要以为后面的分析都是多余的，因为数学是需要非常严谨的， 不严谨刚好得到正确的结果，是千万要不得的。

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