“山寨版”黎曼猜想背后其实有一段小小的故事——一段与美苏冷战有关的故事。

故事发生在半个多世纪前的 1957 年。 那一年， 苏联先于美国将一颗人造卫星送入了近地轨道， 迈出了航天时代的第一步。 这一在太平年代可以令全人类共同自豪的成就， 由于发生在冷战时期， 带给美国的乃是巨大的震动和反思。 作为反思的结果之一， 美国初等教育界兴起了一场以革新教材为主旨的所谓 “新数学” 运动 (New Math)， 试图 “从娃娃抓起”， 加强教育、 奋起直追。 在这场运动中， 许多原本晚得多才讲述的内容被加入到了中小学教材中， 其中包括公理化集合论 (axiomatic set theory)、 模算术 (modular arithmetic)、 抽象代数 (abstract algebra)、 符号逻辑 (symbolic logic) 等。

（苏联人造卫星——“卫星一号”）

这种 “拔苗助长” 般的革新不仅远远超出了普通中小学生的接受能力， 甚至也超出了一部分中小学教师的教学能力， 因此只尝试了几年就被放弃了。 不过对我们来说， 这场 “小跃进” 式的 “新数学” 运动却是一个很好的幌子， 让我们能够宣称从中小学算术开始本节的科普， 因为我们将要介绍的 “山寨版”黎曼猜想， 可以从 “新数学” 当中的一种——模算术——说起。

模算术的一个典型的题目是： 现在时钟的时针指向 7， 请问 8 小时之后时针指向几？ 这个题目与 “7+8=?” 那样的传统小学算术题的差别， 就在于时钟上的数字是以 12 为周期循环的， 从而不存在大于 12 的数字。 这种带有 “周期” 的算术题就是典型的模算术题目， 它通常被表述为 “7+8=? (mod 12)”， 其中的 “(mod 12)” 表示以 12 为周期， 而这周期的正式名称叫做 “模” (modulus)， 模算术之名因此而来。

（图片来自网络）

模算术是数论中一种很有用的工具， 数学大腕欧拉、约瑟夫-刘易斯·拉格朗治 (Joseph-Louis Lagrange，1736-1813)、勒让德等人都使用过， 但对它的系统研究则要归功于高斯。

1801年， 这位被后世尊为 “数学王子”， 且当时正值 “王子” 年龄 (24 岁) 的数学家在其名著《算术探讨》(Disquisitiones Arithmeticae) 中系统性地运用了模算术， 证明了许多重要命题， 并为后世奠定了该领域的若干标准术语。 由于讲述模算术的最通俗例子就是上面所举的有关时钟的题目，因此模算术也称为 “时钟算术” (clock arithmetic)， 而为了纪念高斯对这一领域的巨大贡献， 那时钟则被一些科普作家称为高斯时钟 (Gauss clock)。

高斯时钟所包含的刻度数目不一定非得像普通时钟那样为 12， 而完全可以是其它数目。

（高斯。图片来自网络）

事实上， 对于我们的真正兴趣而言， 刻度数目为 12 的高斯时钟是一个很糟糕的例子， 因为在它上面虽然可以进行加减法和乘法，但作为乘法逆运算的除法却并不总能够进行的 (请读者自行证实这一点)。

在数学上， 一个集合如果元素之间加、 减、 乘、 除全都可以进行， 而且无论怎么折腾， 都像孙悟空翻不出如来佛掌心一样， 仍在那集合之中， 我们就会给它一个专门的名称，叫做域 (field)。

域的概念在数学上有很大的重要性，并且也是我们真正感兴趣的东西，因为我们熟悉的有理数、 实数、 以及表述黎曼猜想时用到过的复数的集合全都是域，即将介绍的 “山寨版”黎曼猜想也离不开域。 而所含刻度数目为 12 的高斯时钟由于无法保证除法的进行， 便无法用来表示域， 从而是一个很糟糕的例子。

对于域， 我们可以将之粗略地分为两类：一类是像有理数、实数和复数的集合那样所含元素数目为无限的， 另一类则是所含元素数目为有限的。这两类域各有一个很直白的名字，前者叫作无限域 (infinite field)， 后者叫做有限域(finite field)。 我们真正感兴趣的东西粗略地讲是域， 确切地说其实是有限域， 因为它在某些方面比无限域来得简单， 从而是构筑 “山寨版”东西的好材料。

虽然所含刻度数目为 12 的高斯时钟——如前所述——无法用来表示域， 但某些高斯时钟确实可以用来表示域——当然，这里的域是指有限域。 比如， 有限域的一个最简单的例子就是只含 0 和 1 两个刻度的高斯时钟 (请读者自行列出这个有限域中的加、 减、 乘、 除结果)， 这个有限域通常记为F2——下标 2 表示元素的数目 (等同于高斯时钟的刻度数目)。

很简单吧？ 不愧是中小学算术， 但我们的科普很快就要提速了。

既然含有两个元素的有限域记为 F2， 那么大家一定可以推想到，含有 p 个元素的有限域的记号就是 Fp。 完全正确！ 不过， 细心的读者也许会提出一个问题： 那就是 p 这个字母在我们这个系列中通常是表示素数的， 这里为何不用一个更普通的字母， 比如 n 呢？ 答案是： 这是存心的。 我们刚才提到过， 某些高斯时钟可以用来表示有限域， 到底是哪些高斯时钟呢？ 正是那些所含刻度数目为素数的高斯时钟。 这一点的普遍证明并不困难，感兴趣的读者可以从前面所说的刻度数目为 12 的 Gauss 时钟不能表示有限域的原因入手，来琢磨一下普遍证明的思路。

（图片来自网络）

能够用高斯时钟来表示， 对于有限域来说无疑是一个很利于科普的特点， 但却不是必不可少的条件。 事实上， 不能用高斯时钟来表示 (即元素数目不是素数) 的有限域也是存在的。 而更微妙的是， 有限域的元素数目虽然可以不是素数，却也不是完全任意的。 那么， 究竟什么样的元素数目才是可能的呢？ 答案是： 它必须为素数的正整数次幂。 换句话说， 如果我们用 Fq 表示有限域， 那么 q 只能是 q=pn (n=1, 2, 3, ...)。 现在我们可以对所含刻度数目为 12 的高斯时钟做出更完整的评价： 它确实是一个很糟糕的例子， 因为 12 不仅不是素数，连素数的正整数次幂都不是， 因此根本就不存在元素数目为 12 的有限域， 更遑论用那样的高斯时钟来表示。

好了， 从模算术开始， 我们引出了有限域这个概念， 并宣称这是我们在本节中真正感兴趣的东西。 那么， 对于有限域， 究竟有什么东西值得我们研究呢？

答案是： 方程。 事实上， 域的概念的引进， 本身就与研究方程有着密切关系， 因为减法与除法这两种运算的引进， 在很大程度上就是为了研究诸如 a+?=0 和 a×?=1 那样的方程。

研究方程是数学中最古老的探索之一， 像方程是否有解？ 有多少个解 (即解的数目)？ 如何求解？ 那样的课题， 从古至今都有一些数学家在研究。

而对这些课题的研究， 往往与在什么域中研究有着很大关系。 比如说， 曾经难住数学家们长达358 年 (这个记录连黎曼猜想也未必能打得破) 才被解决掉的费马猜想 (如今已荣升为费马大定理) 如果放到实数域中， 根本就不是问题。 既然对方程的研究与在什么域中研究有着很大关系，那么有限域上的方程自然也可以成为研究课题， 事实也确实如此。 这其中很受数学家们钟爱的一类方程叫做代数方程(algebraic equation)， 也叫多项式方程 (polynomial equation)， 它只包含变量的整数次幂 (费马大定理所涉及的方程就是一种代数方程)。 我们接下来要讨论的就是有限域上的代数方程。

（费马。图片来自网络）

作为有限域上代数方程的最简单的例子之一， 我们考虑有限域 Fq 上的二元代数方程 F(x, y)=0。

这里 F(x, y) 是一个所有系数及变量 x、 y 都在 Fq 中取值的多项式 (“所有系数及变量 x、 y 都在Fq 中取值” 是该方程作为 “有限域 Fq 上” 的方程所需满足的定义性条件)。

我们知道， 像 F(x, y)=0 这样的二元方程在实平面上的解 (即 x、 y 都为实数的解) 的集合通常是曲线，借用这种术语， 数学家们把二元代数方程 F(x, y)=0 的解的集合称为代数曲线 (algebraic curve)， 如果该二元代数方程是有限域上的方程， 相应的解的集合则称为有限域上的代数曲线。

当然， 这种所谓的 “曲线” 实际上只是有限多个点的集合， 因为它所在的整个 “平面” Fq×Fq 总共也只有q2 个点。

（图片来自网络）

另一方面， 一个代数方程 F(x, y)=0 如果是有限域 Fq 上的方程， 当然也是以 Fq 为子域 (subfield)、但比 Fq 更大的有限域上的方程， 从而可以表示那些更大的有限域上的代数曲线。

那些更大的有限域称为 Fq的扩张域 (extension field)。 可以证明， Fq 的扩张域是那些所含元素个数为 q 的正整数次幂的有限域，即 Fqm (m=1, 2, 3,...)。 因此， 有限域 Fq 上的代数方程 F(x, y)=0 可以被视为是所有有限域 Fqm (m=1, 2, 3, ...) 上的代数方程。

以上这些貌似与黎曼猜想风马牛不相及的东西， 就是 “山寨版”黎曼猜想赖以存身的那座 “山”。

（摘自《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》，作者：卢昌海）