文|鲸探所

编辑|鲸探所

前言

一种新的以顶点为中心的有限体积算法，专为具有已知潜在接触轨迹的显式大应变固体接触动力学问题而设计，该方法采用基于线性动量的一阶守恒研究组和一组几何变形测量，包括变形梯度张量、其辅因子和行列式。

这些研究与Rankine-Hugoniot跳跃条件相结合，导出动态接触模型，确保接触界面处双曲特征结构的保存。与忽略接触界面惯性效应的标准准静态接触模型相比，这是一个重大改进。

该算法使用适当的跳跃条件明确地强制执行运动学（速度）和动力学（牵引力）接触冲击条件，动力学接触条件的实施是通过线性动量研究完成的，而运动学接触条件是通过几何守恒研究合并的，从而消除了对计算要求较高的迭代方案的需要。

不仅如此，这个方法还可以包括总变化减小冲击捕获技术，从而增强冲击附近的性能，而无需临时的正则化程序，为了从空间离散化的角度确保稳定性，全局熵产生通过经典科尔曼-诺尔过程的半离散版本来证明，以系统哈密顿能量的时间速率表示。

拉格朗日固体动力研究

对于离散和求解固体动力学物理来说，计算方法是非常重要的，Abaqus/Explicit 和 LS-DYNA 等商业求解器通常使用传统的基于位移的公式，特别是用于空间离散化的有限元法 (FEM) 和用于显示时间积分的基于 Newmark 的方法。

虽然说这些方法由于与非结构化四面体网格生成器兼容而很受欢迎，但在应用于复杂的物理和材料模型（例如塑性或大应变接触动力学）时，它们存在一些缺点，它们提供位移的二阶精度，但仅提供应力的一阶精度。

寄生振荡发生在接触或撞击等冲击附近，他们与以弯曲为主的场景作斗争，沙漏效应和压力棋盘效应接近不可压缩极限时会出现问题，可能会发生剪切和体积锁定。

要知道，解决这些缺点一直是解除固体动力学设区的重点关注点，以利用 FEM 的优势并改进商业软件，例如，已经探索了高阶插值方法来提高应力计算的准确性。

目前已经引入了几种冲击捕捉技术，例如总变化减小，以减轻寄生振荡，为了处理弯曲为主的场景，已经提出了选择性简化积分方法。

除了这个之外，还研究了更先进的稳定技术，例如不连续伽辽金法 (DGM)，以防止锁定问题，这些方法旨在提高计算方法的准确性和稳定性，使其能够应用于更广泛的复杂问题。

为了提高接触固体动力学标准方法的准确性，研究人员探索了各种技术，例如高阶元素和基函数，这些方法提高了应力计算的准确性，但会损害计算效率，为了克服这种权衡，引入了简化积分技术，该技术在使用高阶元素（例如六面体元素）的同时保持计算效率。

研究人员已经开发了其他方法（例如平均扩张方法）来防止锁定问题，锁定问题可能在弯曲为主的场景中出现，还引入了平均节点压力元素来近似每个节点的压力，从而减轻了接近不可压缩极限的压力棋盘现象。

其中许多技术已被纳入商业软件中，以解决工业中使用的传统求解器的缺点。虽然这些方法提高了准确性和效率，但它们仅部分解决了每个限制。

所以说，在涉及复杂物理、几何或材料模型的场景中，尤其是在接触问题中，缺陷仍然会显现出来，无法准确有效地离散高阶元素的域仍然是一个挑战。

在计算固体动力学 (CSD) 求解器中准确建模接触力学需要额外的程序来识别和解析单个或多个实体之间的接触区域，而传统有限元法 (FEM) 求解器中实现接触算法时需要考虑三个主要方面。

这些算法对于识别可能接触的身体和区域至关重要，求解器需要在模拟过程中检测可能的接触点并跟踪物体之间的接触界面。

一旦识别出接触区域，就需要在接触界面处强制执行接触条件，接触解析方法近似物体之间的接触相互作用，包括运动学和动力学条件，以确保适当的力传递并防止相互渗透。

当物体接触时，接触不连续处会产生应力波，准确的冲击捕获方法对于有效捕获和模拟这些应力波是必要的，这些方法有助于防止接触界面附近的寄生振荡和不准确。

在每个负载增量处使用搜索算法来确定物体之间的潜在接触，该过程涉及两个主要步骤，在全局搜索中，算法识别一个物体是否有与另一个物体接触的可能性。

这个步骤缩小了潜在接触区域的范围，并通过排除彼此不邻近的表面来减少不必要的计算，通过执行全局搜索，算法可以关注可能发生接触的相关区域。

通过全局搜索识别出潜在的接触区域后，将执行局部搜索以确定哪些特定表面、单元和节点发生接触并需要接触解析，本地搜索进一步细化接触区域，并使接触算法能够准确地执行适当的接触条件。

通过将该方法分为全局搜索和局部搜索，可以降低计算成本，特别是在变形较大的情况下，它允许接触算法仅关注相关表面，优化计算效率并加快模拟过程。

计量变量实验

在固体力学中，为了描述连续体的变形，需要检查运动和变形的运动学，封闭域 Ω0 的运动和变形通过映射函数 phi(X， t) 表示，该函数采用粒子的材料（参考）位置 X 和时间 t 并将其映射到其空间（欧拉）位置 x。

假设映射函数 是可逆的，足够平滑，可以通过泰勒展开计算导数，并忽略高阶项，这使我们能够使用称为变形梯度 F 的张量来描述域内不同长度的纤维从参考配置到空间配置的变化。

变形梯度是由 dx = F dX 给出的两点张量，并且可以定义为，F = ∇0phi(X， t)其中 ∇0 是材料梯度，定义为 ∂/∂X，根据变形梯度，可以定义称为雅可比 J 的体积图，将初始配置中的微分体积 dV 与空间配置关联为 dv = J dV。

J = det(F)雅可比 J 必须始终大于 0 以确保体积保持，接下来，可以定义区域图，称为辅助因子或伴随张量 H，它将参考配置中材料法线 N 的微分面积 dA 与空间法线 n 的空间配置相关联。

面积图与变形梯度的关系为，H = JF^(-T)或者，可以使用张量叉积将其表示为H = 1/2 FF^T其中 F^T 表示变形梯度的转置。

最后，粒子的速度 v 可以根据变形映射定义为相对于时间 t 的偏导数，v = ∂phi(X， t)/∂t，通过对连续体的运动和变形的理解，可以制定固体动力学的控制研究。

固体动力学问题受两个基本原理支配：线性动量平衡原理和质量守恒，这些原理构成了连续固体动力学 (CSD) 方法的基础。

在拉格朗日固体动力学的背景下，这些控制研究可以表示如下，线性动量平衡原理：该原理指出，连续体线性动量的变化等于作用在其上的净外力。

它可以在数学上表达为，ρDv/Dt = ∇·σ + ρb 。

其中 ρ 是材料密度，v 是速度矢量，D/Dt 是材料导数，σ 是柯西应力张量，∇ 是梯度算子，b 表示作用在连续体上的每单位质量的体积力。

质量守恒原理确保系统的质量保持恒定，在拉格朗日公式中，这个守恒研究本质上是满足的，不需要被视为未知变量。

在大应变固体动力学中，引入非常规运动学守恒研究来表达完整的一阶守恒框架，这些研究基于变形梯度张量 F 及其辅因子 H，这在运动学部分中进行了描述。

线性动量平衡原理，在大应变固体动力学的一阶框架中，体积图守恒，J研究（2.10）中引入。

这个额外的守恒研究通过减轻压力棋盘现象（这在某些数值模拟中可能是一个问题）提供了更大的灵活性，特别是在具有几乎不可压缩行为的情况下。

当引入这些运动学守恒研究时，单值映射的存在性，φ确保，但必须满足称为兼容性条件的附加条件，以维持物理上有意义的解决方案。

兼容性条件表示是，变形梯度的旋度 (F)，卷曲F=0;（2.11a ）_面积图的散度（H)，DIVH _=0.（2.11b ）_如果不满足兼容性条件，可能会出现寄生振荡，导致解不准确甚至数值不稳定，因此，在实施计算方法时必须仔细考虑这些条件。

一阶框架的实验过程

大应变固体动力学的一阶框架以紧凑的形式表达为一组守恒研究，结合了线性动量平衡原理和运动学守恒研究。

守恒研究的局部形式由下式给出，U.t+3 m I=1.F I.XI=S,是保守变量的向量F 是通量矢量-th 材料方向，以及S是源项的向量，笛卡尔基向量表示为和1,和2,和3，以及与材料向外单位法线相关的相应通量矢量氮表示为F 氮。

该框架是双曲线的，这意味着它确保在任何变形状态下都存在真实波速，这一特性对于框架应用于接触问题至关重要，因为它确保了计算方法的稳健性，还必须结合适定的本构模型来补充守恒研究并形成完整的数值方法。

值得注意的是，这里提出的框架对于具有平滑解决方案的问题是有效的，这意味着不存在冲击波或不连续性，对于非光滑问题，必须满足称为跳跃条件的附加条件才能使框架有效。

与标准的基于位移的公式相比，一阶框架具有几个优点。标准的基于位移的公式仅考虑线性动量平衡原理（公式 2.7），并根据位移重新公式化以获得公式，ρ0∂诉−DIVP（∇0ϕ）=ρ0b；其中v=∂ϕ∂t乙。

r 0是材料密度，磷是作为变形映射函数梯度函数的第一 Piola-Kirchhoff 应力φ， 和在是速度场。在此二阶公式中，未知变量是位移，当使用标准线性有限元求解时，会产生位移的二阶解，但仅产生导出的应力和应变的一阶解，它需要及时积分来评估速度。

另一方面，一阶框架通过求解守恒变量而不是位移来克服这些限制，这保留了导出的应力和应变的精确度并直接求解速度，一阶框架的优点是可以求解完整的守恒研究组，从而提高导出量的准确性。

一阶框架为将应力与应变相关的本构模型的应用提供了灵活性。这允许合并更复杂的材料模型，例如建模接触和大应变固体动力学所需的模型，而不会影响解决方案的准确性。

总结

新的基于顶点的有限体积算法，专门用于处理显式大应变固体接触动力学，该方法采用一阶守恒研究组和几何变形测量，包括变形梯度张量、辅因子和体积图，以描述连续体的运动和变形。

这些研究与Rankine-Hugoniot跳跃条件相结合，导出动态接触模型，确保在接触界面处双曲特征结构的保存。

该算法明确地强制执行运动学（速度）和动力学（牵引力）接触冲击条件，动力学接触条件通过线性动量研究实现，而运动学接触条件通过几何守恒研究合并，从而消除了高计算要求的迭代方案的需要。

该方法还可以包括总变化减小冲击捕获技术，以提高接触区域附近的性能，而无需临时的正则化程序，全局熵产生通过半离散版本的经典科尔曼-诺尔过程来证明，以系统哈密顿能量的时间速率表示。

参考文献：

【1】《先进材料研究》。

【2】《多步态软机器人》。

【3】《固体力学及其应用》。

【4】《内外流动的数值计算》。

【5】《用有限元放大分析模拟的冷卷纹理预测》。