1.三门问题

上一章中介绍了一个与几何概型有关的贝特朗悖论，贝特朗于1889年还提出了另一个贝特朗盒子悖论，实际上不算是“悖论”，因为它没有逻辑矛盾。但它是一个与博弈论相关的有趣的数学游戏：三门问题。

这个问题有好几个等效版本，最早一版的日期可追溯到19世纪的贝特朗，该问题在数学本质上也等同于马丁·加德纳1959年提出的“三囚犯问题”。不过这些老版本长时间都默默无闻，只是到了100多年之后的1990年左右，却热门了一阵子，在公众中引起热烈的讨论，其原因要归功于美国一个著名的，从上世纪80年代一直延续至今的电视游戏节目Let's Make a Deal。由此例也足以可见现代媒体在公众中普及科学知识之威力。

（马丁·加德纳。图片来自网络）

当年的节目主持人蒙特霍尔（Monty Hall）善于与参赛者打心理战，经常突如其来地变换游戏规则，给参赛人和观众都来个猝不及防，既使得观众们困惑不已，又迫使参赛者“脑筋急转弯”，三门问题及各种变通版本便是他经常使用的法宝。后来有人便将此游戏以主持人的名字命名，称之为蒙特霍尔问题。

在三扇关闭了的门后面，分别藏着汽车和两只山羊。如果参赛者选中了后面有汽车的那扇门，便能赢得该汽车作为奖品。显而易见，这种情况下，参赛者赢得汽车的概率是1/3。

图2-1-1：三门问题

不过，主持人有一次稍微将游戏规则改变了一点点。当参赛者选择了一扇门但尚未打开之际，知道门后情形的主持人说：

“等等，我现在给你第二次机会。首先，我将打开你没有选择的两扇门中有山羊的一扇，你可以看到门内的山羊。然后，你有两种可能性：改变你原来的选择（交换），或者保留原来的选择（不交换）。”

主持人的意思是说，在参赛者选择之后，他打开一扇有山羊的门，留下一扇未开之门，让参赛者决定要不要将原来的选择与剩下的未开之门“交换”？

要不要交换呢？我们不从“碰运气”而是从“概率”的角度来思考这个问题。问题是：

如果不交换，保持原状的话，得汽车的概率是1/3。如果交换的话，是否能增加抽到汽车的概率呢？实际上，学界及公众对此问题争论颇久，我们仅叙述主流观点。

答案是会。转换选择（交换）可以增加参赛者的机会，如果参赛者同意“换门”，他赢得汽车的概率从1/3增加到2/3。

让我们来分析一下整个游戏过程中，由于参赛者的不同选择而产生的各种具体情况，以及在这些情况下选择“交换”后的结果。

参赛者指定3道门中的一道，有三种可能的情况，每种选择的几率相等（1/3），见图2-1-2中的a、b、c。

（a）参赛者挑选有汽车的第1道门，主持挑两头羊的任何一头，开门。交换将失败。

（b）参赛者挑选有羊的第2道门，主持人打开第3道门。交换将赢得汽车。

（c）参赛者挑选有羊的第3道门，主持人打开第2道门。交换将赢得汽车。

图2-1-2：参赛者“同意转换”得到汽车的概率变成2/3

在后两种情况，参赛者均可利用转换选择而赢得汽车，只有第一种情况将使得参赛者因转换选择而倒霉。参赛者的转换选择，使得三种情况中的两种赢，一种输，所以选择“交换”，将赢的概率增加到2/3。

也可以换一种思维方式来理解这个问题。因为3道门中2道是羊，1道是汽车，所以参赛者最初选到汽车的概率是1/3，选到羊的概率是2/3。如果参赛者先选中汽车，换后一定输；如果先选中羊，换后一定赢。因此选择“交换”而赢的概率，就是开始选择羊的概率，为2/3。

也许以上解释仍然有些使人困惑之处，但如果将门的数目增加到10道门（主持人开启8道有“羊”的门，留下1扇），100道门（主持人开启98道有“羊”的门，留下1扇），甚至1000道门（主持人开启998道有“羊”的门，留下1扇）。这些情况下，主流观点认为参赛者选择“交换”使概率增加的结论便显而易见了。

例如，图2-1-3显示的是10道门的情形。

图2-1-3：十门问题

如果门的数目增加到10，其中9道门中是羊，1道是汽车。参赛者开始也选中3号门，但3号门是汽车的概率只有1/10。然后，主持人开启了8道有羊的门，剩下2号门以及参赛者选中的3号，并问参赛者是否要“交换”？

这次参赛者的脑袋比较清醒：3号门是汽车的可能性是1/10，似乎剩下的9/10的可能性都在2号门上，交换使得概率增大9倍，当然要换，傻子才不换！

2. 三门问题引发的思考：概率究竟是什么？

上面所述的三门问题虽然只是一个有趣的游戏节目，但学者们却从中探索了不少深刻的数学和哲学问题。概率论就是一门如此有趣的学问，许多问题看起来简单，每个人似乎都认为自己懂了，都能得到自己的解答，但后来却发现答案互不相同，各派人振振有词地分别表述自己的观点，却往往难以说服对方，引起一场又一场的辩论。

三门问题貌似简单，实际复杂。上一节最后，根据主流派的分析得到“傻子才不换”的结论，实际上有些不公平。早在1975年，UC Berkeley生物统计学教授Steve Selvin在American Statistician期刊上的论文中提出了这个蒙提霍尔问题，几十年来，对这个概率问题的结论，不同观点纷争热议反复交锋互为纠缠，据说争论一直延续到现在，已经有好几十篇论文发表在40多种学术和公众刊物上，并时有在论文、书刊和电视上诱发讨论。

（图片来自网络）

其中最为引人注目的是1990年在“Ask Marilyn”专栏上的讨论，其专栏主持人玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant，1946年8月11日－）曾经被吉尼斯记录认定为拥有最高智商的女性，因为玛丽莲在刚满10岁时初次接受史丹福-比奈智力测验，测得智商高达228。1985年，35岁的玛丽莲参加了成人标准差智力测验，48题中，她回答正确达46题，标准偏差值为16，智商为186。

玛丽莲从事文学创作，之后又开辟了〈Ask Marilyn〉专栏，专门回复读者从数学到人生之各式各样的问题，蒙提霍尔问题便是其中引起广泛争论最后玛丽莲大获全胜的一个典型案例。

玛丽莲在专栏中，解释澄清了三门问题的一些含糊之处，过滤掉许多变种的版本，将其规范化为标准陈述并以通俗易懂的方式证明她坚持的结果：交换使赢得汽车的概率增加到2/3！这也就是我们在前面一节中的叙述方式和答案。

（玛丽莲·沃斯·莎凡特。图片来自网络）

对此问题，主要反对一方的观点和结论如下：

不管多少个门，不管主持人如何选择和打开这些门，按照标准陈述的游戏规则，到最后一步，参赛者面临的都是两道门中二选其一的问题，两道门中一道后面是汽车，一道后面是山羊。选择任何一个的概率都是1/2，所以，交换不交换，得到汽车的概率均为1/2，所以换不换无所谓。

以上反驳方的观点听起来貌似有理，也符合成千上万人的直觉。因此，当年的玛丽莲摊上了大事，几千上万封读者来信纷杳而至，百分之九十以上都是反驳她的观点，其中不乏博士、数学家和学者，也包括该游戏的节目主持人蒙提霍尔。有些来自数学和科学界的信中，不但反对她的答案，还嘲笑她的观点是出于女人的直觉，劝她修了概率课后再来谈这个问题。反驳者中最著名的人物恐怕要算匈牙利籍数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős， 1913年－1996年），这是一位到现时为止最高产的数学家，发表论文数高达1525篇。

不过，高智商才女不是那么容易认输的，她借着这股讨论的热潮，在全国范围的学校数学课里组织了一个统计实验，受到她的启发，又有几百个人以不同的方法，对三门问题用计算机做仿真实验，这些实验结果都支持她的结论：交换对参赛者更为有利！理论毕竟需要实验的支持，在令人不得不信服的数据面前，当初坚决反对玛丽莲的保罗·埃尔德什也被说服了，玛丽莲获胜，声名大振。

（保罗·埃尔德什。图片来自网络）

实际上，将这个问题换成如下说法，答案也许更容易被人接受（以10门为例）。

鲍勃拿出十个盒子，其中一个有钻戒。鲍勃知道有钻戒的是哪一个，爱丽丝不知。考虑如下两种情况：

1. 爱丽丝选了一个盒子放进她的包包，鲍勃将剩下9个盒子放进自己包包，然后问爱丽丝是否愿意互换包包？

2. 鲍勃将9个盒子中没有钻戒的8个盒子丢进了垃圾箱，剩下1个留在包包里，问爱丽丝是否愿意换包包？

（图片来自网络）

两种情形实际上是完全等效的，但给人的直觉却大不一样。第一种情况下，爱丽丝包包里只有1个盒子，鲍勃包包里有9个，9对1，显然鲍勃包包有钻戒的概率更大。第二种情况，两个包包的盒子数成为了1对1，使人直觉地认为概率都是1/2，换不换都一样了。

这个问题又一次地告诉我们，不要轻易相信直觉，特别是对概率问题而言。

对公众而言，玛丽莲似乎解决了“三门问题”，她的结论被视为一种“标准答案”。但是，数学家们并未在此问题上就此止步，90年代之后又发表了多篇学术论文研究这个问题，其中一个典型例子是1991年，Morgan等四位美国数学和统计系的教授在《American Statistician》上发表的论文。他们用下面一节将介绍的贝叶斯推断来考察这个例子，说明了即使是对玛丽莲的标准问题，反对者的答案也都有道理，到底是哪一个答案对，还取决于主持人选择时的一念之间！一直到2011年，还有论文在讨论这个问题。

（摘自《从掷骰子到阿尔法狗》，作者：张天蓉）

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