1 问题描述

何为Prim算法？

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

原理简单介绍：

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；

3).重复下列操作，直到Vnew = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；

4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

2 解决方案

2.1 贪心法

本文具体编码使用数据参考自《算法设计与分析基础》第三版，下面是其具体图示：

package com.liuzhen.chapter8;

import java.util.ArrayList;

public class Prim {

/*

* 参数G：给定的图，其顶点分别为0~G.length-1，相应权值为具体元素的值

* 函数功能：返回构造生成的最小生成树，以二维数组形式表示，其中元素为0表示最小生成树的边

*/

public void getMinTree(int[][] G) {

int[][] result = G;

int[] vertix = new int[G.length]; //记录顶点是否被访问，如果已被访问，则置相应顶点的元素值为-2

for(int i = 0;i < G.length;i++)

vertix[i] = i;

ArrayList<Integer> listV = new ArrayList<Integer>(); //保存已经遍历过的顶点

listV.add(0); //初始随意选择一个顶点作为起始点，此处选择顶点0

vertix[0] = -2; //表示顶点0被访问

while(listV.size() < G.length) { //当已被遍历的顶点数等于给定顶点数时，退出循环

int minDistance = Integer.MAX_VALUE; //用于寻找最小权值，初始化为int最大值，相当于无穷大的意思

int minV = -1; //用于存放未被遍历的顶点中与已被遍历顶点有最小权值的顶点

int minI = -1; //用于存放已被遍历的顶点与未被遍历顶点有最小权值的顶点 ；即G[minI][minV]在剩余的权值中最小

for(int i = 0;i < listV.size();i++) { //i 表示已被访问的顶点

int v1 = listV.get(i);

for(int j = 0;j < G.length;j++) {

if(vertix[j] != -2) { //满足此条件的表示，顶点j未被访问

if(G[v1][j] != -1 && G[v1][j] < minDistance) {//G[v1][j]值为-1表示v1和j是非相邻顶点

minDistance = G[v1][j];

minV = j;

minI = v1;

}

}

}

}

vertix[minV] = -2;

listV.add(minV);

result[minI][minV] = 0;

result[minV][minI] = 0;

}

System.out.println("使用Prim算法，对于给定图中的顶点访问顺序为：");

System.out.println(listV);

System.out.println("使用Prim算法，构造的最小生成树的二维数组表示如下（PS：元素为0表示树的边）：");

for(int i = 0;i < result.length;i++) {

for(int j = 0;j < result[0].length;j++)

System.out.print(result[i][j]+"\t");

System.out.println();

}

}

public static void main(String[] args) {

Prim test = new Prim();

int[][] G = {{-1,3,-1,-1,6,5},

{3,-1,1,-1,-1,4},

{-1,1,-1,6,-1,4},

{-1,-1,6,-1,8,5},

{6,-1,-1,8,-1,2},

{5,4,4,5,2,-1}};

test.getMinTree(G);

}

}

运行结果：

使用Prim算法，对于给定图中的顶点访问顺序为：

[0, 1, 2, 5, 4, 3]

使用Prim算法，构造的最小生成树的二维数组表示如下（PS：元素为0表示树的边）：

-1 0 -1 -1 6 5

-1 0 -1 -1 0

-1 0 -1 6 -1 4

-1 -1 6 -1 8 0

-1 -1 8 -1 0

0 4 0 0 -1

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