#头条创作挑战赛#

在对n次多项式方程求根的时候，首先会通过换元来消去n-1次项的系数。

根据韦达定理，n-1次项的系数是所有根的和的相反数，化简之后的根的和为0。

如果是2次方程 x^2 + bx + c = 0，通过换元x = y - b/2就可以直接获得根式解，化简之后是：

y^2 - (b^2 - 4c) / 4 = 0.

只剩下了2次项和常数项，赶得就是这么巧，所以二次方程比高次方程友好多了[呲牙]

移项、开方之后获得两个解 y1, y2，并且 y1 + y2 = 0.

再换回x，就得到最终的根。

换元之后的常数项的分子部分，就是方程的判别式：b^2 - 4c.

如果最高次项的系数不是1，判别式是：b^2 - 4ac.

3次方程 x^3 + ax^2 + bx + c = 0，用x = y - a/3换元之后，化简成：

y^3 + py + q = 0.

当然也可以再用x把y换回来，毕竟换个未知数不影响方程的根：

x^3 + px + q = 0，（还是x看起来比y顺眼）

但是3次方程的求根是比较锻炼人的思维的[捂脸]

令 x = u + v 就可以把它转化为 u^3 和 v^3的2次方程，然后获得求根公式。

在不知道伽罗瓦理论，又没查过前人的资料时，能直接想到这点的都是（业余的）数学家[呲牙]

1，系数是根的对称合成，

当把方程看做根的多项式时，它是根的多元对称函数：

f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

= (x - x1)(x - x2)(x - x3)

= x^3 -(x1 + x2 + x3)x + (x1x2 + x2x3 + x1x3)x - x1x2x3 = 0.

除了乘法就是加法，没有减法和除法，所以更换根的次序没有影响。

对于消去了2次项之后的方程：

x1 + x2 + x3 = 0，

x1x2 + x2x3 + x1x3 = p，

x1x2x3 = -q.

方程的系数，是由根的对称变化而合成出来的。

根的对称变化组成Sn对称群：它是根的下标的排列组合。

3次方程对应的S3对称群，就是1, 2, 3的排列组合。

2，S3对称群的作用，

数字1, 2, 3的排列组合有3! = 6种，所以S3的结构比S5要简单的多，后者有120个元素。

S3 = {e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}.

e是单位元，它不改变原来的下标。

两个数字的是根的对换，3个数字的是根的循环，如下图：

群的两个元素作用到根上时，右边的先起作用，左边的后起作用，

(gh)x = g(hx)，这就是群的（广义）乘法的结合律。

交错群A3的作用

群的（广义）乘法，一般是不符合交换律的。

对于根的差的连乘积 d = (x1 - x2)(x1 - x3)(x2 - x3)：

交错群A3的所有元素都不会改变d的符号，因为它们是"偶置换"，每次都有2个子表达式同时变号。

但是，(1 2)和(1 3)和(2 3) 都会改变d的符号，它们是"奇置换"，变号的子表达式的个数是奇数。

S3的其他元素的作用

根的差的连乘积d，就是方程的判别式的平方根：当有重根时，它为0。

如果把d再取平方，那么d^2就不会在Sn对称群的作用下变号了，所以它也是根的多元对称函数：即方程的判别式。

2次方程的判别式：

(x1 - x2)^2 = (x1 + x2)^2 - 4x1x2 = b^2 - 4c，

不管把x1, x2的次序怎么变换，它都是不变号的。

3次方程的判别式：

d^2 = [(x1 - x2)(x1 - x3)(x2 - x3)]^2，

也是无论根的次序怎么改变，它都不变号。

它的平方根d，[中括号里面的部分]，只在A3的作用下不变号，但在S3的作用下变号。

{e, (1 2 3), (1 3 2)} 构成A3交错群，它的元素都是“偶置换”。

两个(1 2 3)的连续作用等于(1 3 2)的作用，所以A3是3个元素组成的循环群：

A3 = {e, (1 2 3), (1 2 3)^2}.

循环群都是可解的，因为(1 2 3)^3 = e，它总可以找到办法让两个元素的乘积可以互换顺序，从而实现（广义乘法的）交换律，ab = ba。

S3对称群的可解链，就是经过A3交错群：S3->A3->e.

3，伽罗瓦理论的要点，

1831年，年仅20的法国大数学家伽罗瓦，彻底解决了方程的根式解问题，后世尊称为伽罗瓦理论。

（1832年，伽罗瓦因为卷入一场决斗而去世，年仅21岁）

以有理数Q为基础，把方程的所有的根依次添加进去，形成的扩张域F，叫多项式方程的分裂域。

x^2 = 2要想可解，给Q添加2^0.5就可以了：

伽罗瓦证明了：

1）多项式方程的分裂域的子域、与它的伽罗瓦群的子群是一一对应的。

2）多项式方程的根式可解，“当且仅当”它的伽罗瓦群可解。

3）群的可解链（下降的）与域的扩张链（上升的）是对应的。

以3次方程为例，F为包含它的所有根的域（分裂域），从有理数Q开始扩张，那么扩张链是：Q -> K -> F.

它对应的伽罗瓦群是S3对称群，可解链是：S3 -> A3 -> e.

其中，中间群A3保持中间域K的元素之间的对应关系不变。

4）域的扩张次数与群的阶数之间是对应的：|A3| = [F:K]，(S3:A3) = [K:Q].

群的阶数，指的是群里的元素个数：A3是3个，S3是6个。

域的扩张次数，指的是向量空间的维数：扩张前的域是Q，扩张后的域是K，那么K里的元素要用Q上的多少维的坐标来表示。

给Q添加2^0.5之后的扩张次数就是2，因为：

所以，3次方程的扩张次数是：

从K到F是3次，也就是A3的元素个数3；

从Q到K是2次，也就是S3与A3的元素个数的比值，(S3:A3) = 6/3 = 2。

所以，从K到F的扩张，相当于对方程的3个根做循环变换！

它的作用，跟1的3次复数根的作用是一样的：

1的3次复数根，乘以一个数的作用就是把它旋转120度，3次正好旋转一圈。

这点可以从[F:K]对应的A3交错群是3阶循环群看出来：A3 = {e, (1 2 3), (1 2 3)^2}.

(1 2 3)^3 = e，z^3 = 1.

1的3次复数根，分圆多项式

所以，3次方程的求根公式里，对某个根的表达式的立方，应该是不变的。

从Q到K的扩张是2次的，说明剩下的是这个立方表达式的2次方程。

4，三次方程的求根，

x^3 + px + q = 0 的根的表达式：

x1 + x2 + x3 = 0,

x1x2 + x1x3 + x2x3 = p,

x1x2x3 = -q.

只能是对第1个表达式进行旋转变换，因为旋转也是线性变换，而第2、第3个表达式不是线性的。

还是按惯例以希腊字母表示1的3次复数根吧。

3个根正好是：

它们的2次方：

它们的3次方：

它们组成的变换矩阵与[x1, x2, x3]的乘积是个线性方程组：

表面上是复数，实际上是旋转，这个方程组叫拉格朗日预解式。

3次方程的根x1, x2, x3是在域F里的，然后被变化到中间域K里的2个表达式：

这2个表达式在交错群A3的作用下是不变的，因为A3是3阶循环群，所以它们应该是u和v的3次方（0的3次方是怎么都不会变的[捂脸]）。

u^3 和 v^3 作为从Q到K的扩张所对应的2次方程的根。

第2节说了，交错群A3不会改变根的差的连乘积（判别式的平方根），从Q到K的扩张又是2次扩张，所以中间域K是通过给Q添加判别式的平方根得到的。

3次方程的判别式是-4p^3 - 27q^2，所以要添加它的平方根。

因为A3循环群的作用与1的3次复数根是一样的，所以还要把1的3次复数根添加进去：

实部本来就包含在Q里，只需要添加虚部，所以实际添加的是

商群S3/A3 对2次方程的作用，只是对换它的两个根：与普通二次方程的伽罗瓦群的作用一样。

2的排列组合只有2种，即(1 2)之间的对换。

中间域K上的是2次方程的根，有理数Q上的是它们的平方。

到了这一步之后，方程的根的信息被伽罗瓦群的变换完全抹掉！

只剩下了有理数域Q上的2个系数[捂脸]

但是，3次方程的伽罗瓦群是S3可解的。

取拉格朗日方程组的u, v表达式的3次方，展开之后可以用根的对称多项式的线性组合表示出来，而根的对称多项式就是方程的系数p和q。

然后开立方就可以获得u, v，

代入拉格朗日方程组，就可以解出3次方程的求根公式：卡尔达诺公式。

PS：

使用欧几里德的跳跃思维，而不是笛卡尔的机械解法的话，就是用x = u + v换元：

u^3 + v^3 + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0.

u^3 + v^3 = -q, uv = -p/3.

(uv)^3 = -p^3/27.

以u^3和v^3构造一个二次方程：X^2 - (u^3 + v^3)X + (uv)^3 = X^2 + qX - p^3/27 = 0.

它的判别式b^2 - 4c = q^2 + 4p^3/27 = (4p^3 + 27q^2) / 27，分子部分正好是3次方程判别式的相反数。

然后先开平方，再开立方。

求个赞赏[呲牙]

别骂我，正文是为了说明伽罗瓦群在根上的作用，而不是导出3次求根公式[捂脸]