动点问题中的最值与定值（八年级数学）

以八年级数学的知识框架，研究动点问题不存在障碍，当然所谓的动点，目前多利用全等三角形、平行四边形、轴对称图形等特殊图形，并不涉及到圆。因此关于“最”的定理，一般是“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，而“定”，一般是结合题目条件中的定长，进行等量转换。

题目

如图1，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，A(0,a)，B(b,0)，C(c,0)，|b+c|+√(a-2√3)=0.

(1)求AB的长；

(2)如图2，点M在BD上运动，△AMN为等边三角形.

①求ND的最小值；

②如图3，当点N在AD的上方时，求点N的横坐标.

解析：

(1)由于题目中给出的点坐标均含参数，因此先由条件中的等式求这些参数，根据非负数之和为零的结论，得到a=2√3，于是A(0,2√3)，然后在Rt△AOB中，这是一个含30°角的特殊直角三角形，求得OB=2，AB=4；

(2)①关于ND的最值

接着上一小题的结果继续求得B(-2,0)，C(2,0)，这是一个特殊的菱形，特殊之处在于它的一条对角线可将其分成两个全等的等边三角形，恰好△AMN也是一个等边三角形，因此想到连接AC，属于典型的“手拉手”模型，如下图：

由特殊菱形ABCD可知△ACD也是等边三角形，于是AC=AD，△AMN也是等边三角形，于是AM=AN，∠CAM+∠MAD=∠DAN+∠MAD=60°，所以∠CAM=∠DAM，可证明△ACM≌△ADN(SAS)，所以ND=MC；

那么MC什么时候最小呢？

点C是定点，点M在BD边上，这属于点到直线的距离，因此用到了“垂线段最短”，即当CM⊥BD时最小，此时M点恰好与菱形对角线交点重合，前面已经证明了△ACD是等边三角形，AC=4，于是CM=2；

②关于N点横坐标

通常情况下，研究点的横坐标，向y轴作垂线，将坐标转换成线段问题，而△AMN是以点A为旋转中心，于是继续构造一对全等三角形，过点N作y轴的垂线段NE，同时连接AC交BD于点F，如下图：

这里的关键是找齐△AFM与△NEA全等的三个条件，其中有两个条件非常容易找，就是直角及AM=AN，剩下那个条件在哪里呢？

注意∠ABC=60°，对于△ABC来讲，OA恰好满足三线合一的条件，即可得∠CAO=30°，于是∠EAF=150°，而夹在中间的∠MAN=60°，因此可得∠EAN+∠FAM=150°-60°=90°，再根据∠EAN+∠ENA=90°，得出∠EAN=∠FAM，至此全等的三个条件全部找齐，得到△AFM≌△NEA(AAS)，于是NE=AF=2，所以点N的横坐标是2.

解题反思

在最后一小题中，求点N的横坐标，而N本身是个动点，咋一看上去会感觉没有头绪，但仔细想想，题目既然求点坐标，那必定是个常数，也就是个定值，动点的横坐标是定值，就需要往图形中的定点去引，所以通过构造全等三角形进行转换，而这个全等三角形其实也是基于前一小题的辅助线，菱形对角线交点的特殊之处也在于构造直角。

有时到了九年级再拿这道题，会有学生求BD解析式，再表示M、N点坐标，尽可一试，但复杂程度不言而喻。能够从几何图形性质的角度去解决问题，还是不要解析了吧！其实把图中坐标系拿掉，换成两条互相垂直的直线，再求点到直线的距离，也是一样的方法。

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