如果微积分也有其营养成分表，那么函数肯定会排在最前面，而且是占一定优势．

到底什么是函数？

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则．起始对象称为输入，来自称为定义域的集合，返回对象称为输出，来自称为上域的集合．

来看一些函数的例子吧。

假设你写出 f ( x )=x²，这就定义了一个函数 f ，它会将任何数变为自己的平方，由于你没有说明其定义域或上域，我们不妨假设它们都属于 R ，即所有实数的集合，这样，你就可以将任何实数平方，并得到一个实数，例如， f 将2变为4、将﹣1/2变为1/4，将1变为1．最后一个变换根本没有什么变化，但这没问题，因为转变后的对象不需要有别于原始对象．当你写出 f (2)=4的时候，这实际上意味着将2变为4.顺便要说的是， f 是一个变换规则，而 f ( x )是把这个变换规则应用于变量x后得到的结果．因此，说" f ( x）是一个函数"是不正确的，应该说" f 是一个函数".

——摘自《普林斯顿微积分读本》

开场白

函数是变量数学的标志，也是微积分的重要数学基础。遗憾的是有些同学数学一直挺好，但是学习函数以后就逐渐掉队了。

现在开始，让我们在上海中学名师的指导下，开始学习函数吧。

本连载取材于《数理化自学丛书·代数第三册》，讲解畅达，是非常经典的数学自学教材。而自学能力的培养，不仅可以降低学习成本，更是一笔宝贵的财富。(初中同学校外培训一对一300多元一堂课，割韭菜的镰刀太锋利了，很多家长劳作一天都挣不到300)

起点是第二章：函数和它的图像，第三章是一次函数。开场白到此为止，准备开讲。

第二章：函数和它的图象

函数是数学里一个重要概念。应用数学知识来解决各种问题，经常要用到函数的知识。在本书里，我们将学习关于函数的一些基本知识。这一章先说明一下什么是函数，怎样确定一个函数。

§2.1 常量和变量

① 量和数 在日常的生活、生产以及科学技术的研究中，我们经常会遇到各种各样的量。例如：重量、时间、长度、面积、体积、温度、速度、产值等等都是量。

各种不同的量有着一个共同的性质，就是它们都可以用一个取定的同类的量作为度量单位来量它的大小。例如，重量可以取1克、1公斤、1吨等作为度量单位；长度可以取1厘米、1米等作为度量单位；时间可以取1秒、1分、1小时等作为度量单位。

表示一个量和度量单位的比的数目，叫做这个量的数值，或者叫做量数，它就是度量的结果。例如，用1厘米作为度量单位，量得一条线段的长度是5厘米，这里数5就是这条线段的长度这个量的数值。

②常量和变量 我们所研究的量，虽然都可以用数来表达它，但是在问题的研究过程中，它们却可以有不同的性态。在问题的研究过程中，有的量始终保持着同一个数值，但是有的量却可以取不同的数值。我们来看下面这些例子。

例1 铁的比重⁽¹⁾是7.8克/厘米³。5立方厘米的铁重几克？10立方厘米呢？V立方厘米呢？

这个问题可以利用下面的公式来解：

物体的重量=单位体积的重量×体积。

如果用字母W表示物体重量的克数，那么有

5立方厘米的铁重是W=7.8×5=39(克)，

10立方厘米的铁重是W=7.8×10=78(克)，

V立方厘米的铁重是

W=7.8×V=7.8V(克).

这里我们可以看到，在问题的研究过程中，铁的比重是不变的，它只能取数值7.8，但是铁的体积和重量却是在变化着的，它们可以取不同的数值。

⁽¹⁾一个物体单位体积的重量叫做它的比重。比重也是一个量，在物理学中，比重用“克/厘米³”做单位。例如铁的比重d记做d=7.8克/厘米³，意思就是1立方厘米的铁重是7.8克。

例2 一本书的定价是0.6元。现在带了2元钱去买一本书或者几本书，有几种买法？每一种买法要付多少钱？

这个问题可以这样来解：

设所买的书有x本，那么付出的钱就是

y=0.6x(元)。

根据题意，得到不等式

0.6x≤2，

就是

但是x必须是自然数，所以可以有3种买法，就是买1本，2本或者3本。每种买法应付的钱分别是0.6元、1.2元、1.8元。

这里，我们可以看到，在问题的研究过程中，每本书的定价是不变的，但是买书的本数和所付的钱数是在变化着的。

例3． 一列火车从甲站开往乙站。在离开甲站2公里后，用每分钟2/3公里的速度前进，那末从这时起经过里后，用每分钟1,2,…,10分钟后火车离开甲站的距离是多少？

设从这时起，经过 t 分钟后，火车离开甲站的距离是s公里，那末有公式（图2.1):

这样就容易算出：

在这个问题里，火车行驶的速度以及原来离开甲站的距离这两个量是不变的，但是火车行驶的时间和最后离开甲站的距离这两个量是在变化着的．

例4. 圆的面积 A 和它的半径 r 间，有下面的关系：

A=πr²。

利用这个公式，可以算出，如果

r=1，那么 A=π，

这里圆周率π是不变的，但是半径 r ，在问题的研究过程中可以取不同的数值，圆面积 A 也就相应地有不同的值。

为着区别这两种性态不同的量，我们把：

在问题的研究过程中，始终取同一个数值的量叫做常量，在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量．

③变量的变化范围 我们仔细地观察上面这些例子，可以看到，变量虽然在问题的研究过程中，可以取不同的数值，但是它可以取的数值，往往有着一定的范围。例如：在例1里，变量 V 和 W 都只能取正数的值；

例2里，变量x只能取1,2,3这三个数；

例3里，变量 t 只能取某一个范围里的正数（因为火车行驶了一定时间后，它必须逐渐减低速度，才能停靠在乙站）;

例4里，变量 r 和 A 也只能取正数的值。

通常我们把变量可以取的数值的范围，叫做这个变量的可取值范围，或者容许值范围。

例5.在下面的这些代数式中，字母x的可取值范围是什么？

(1)x²-1,

【解】(1）因为x不论取什么实数值，代数式x²-1都有意义，所以 x 可以取全体实数的值。

(2）因为在分式中，分母的值不能是零，所以x²-1≠0,就是 x ≠±1。这也就是说 x 可以取一切不等于±1的实数。

(3）因为在根式中，被开方数必须是正数或者零，所以

x +1≥0,就是 x ≥-1.

这也就是说， x 可以取不小于-1的一切实数。

(4）这里，分母的值必须是正数，所以

x +1>0,就是 x >-1.

这也就是说，x可以取大于﹣1的一切实数。

习题2.1

1．举出常量和变量的一些实例。

2．在下列这些公式中，哪些是常量？哪些是变量？

(1）圆周长公式：

C =2π r ,

其中 C 表示圆的周长， r 表示圆的半径。

(2）球体积公式：

其中 V 表示球的体积，r表示球的半径。

(3）匀速运动公式：

s = vt ,

其中s表示距离， v 表示速度， t 表示时间．

( i ）用来计算物体以同一速度运动，不同时间内所行的距离时；

( ii ）用来计算在同一时间内，按不同速度运动的距离时。

3．下面这些代数式中，字母 x 的可取值范围各是什么？

(1)x³+2x²+3x+4;

下期预告：§2.2 函数，敬请期待。

新年快乐，祝阅读愉快，再见。