让我们看一个圆上的一个点，并跟踪它的位置。当我们围绕圆旋转时，随着圆的角度变化，这个点上下左右移动，但它到圆心的距离保持不变，它始终与圆心相距一个圆半径。

如果我们只看这个点上下移动的情况，我们会看到它从高度为0开始上升，到最大高度为一个半径，然后下降到0，然后经过圆心以下，我们可以认为这是一个负高度，最低的高度将是一个半径，下降到0之前再次上升。

随着圆的旋转，点上升和下降的速度并不保持不变。当圆从0度旋转时，高度增长迅速，当接近90度时，高度增长变得越来越慢。我们可以考虑点的左右位置，我们会看到类似的模式，点从右边一个半径开始接近中心，到达距离0，然后向左移动一个负半径，回到0并返回右边。

我们可以使用这个点，来形成一个三角形，与圆的半径一起，以及它的垂直和水平位置。随着圆的旋转，三角形的形状会发生变化，从平坦到高，再到平坦，然后重复。垂直距离是三角形的边，与我们的圆角相对，水平距离是三角形的边，与角度相邻。

这些边在直角处相遇，形成一个直角三角形，这使得半径成为三角形的斜边。我们可以通过比较这个三角形的边的增长和收缩的模式，来看待这些边。

例如，我们可以看到斜边适合多少次对边。当圆从0度旋转时，对边的高度为0，所以斜边可以适合0次。当角度为30度时，对边恰好是斜边的一半，而在90度时，三角形崩溃了，这两条边是相等的。比较三角形的这两边称为正弦关系。

如果我们看正弦比率，随着圆继续旋转，我们看到，它在正值翼和负值翼之间的重复，波动高度收缩和增长的不同速度，使正弦波形成光滑的曲线形状。我们还可以看到，斜边适合多少次与相邻边，这种关系称为余弦。我们看到了与正弦相似的波形，但结果偏移了。当圆从零度旋转时，正弦波在0，而余弦波在1。

我们可以进行的第三个比较是，看对边适合多少次与相邻边。在正弦和余弦中，我们考虑的是斜边，它始终保持不变，所以结果会在正切和负切之间波动。但现在两边都在变化，所以会得到一个非常不同的结果。

当角度为0度时，三角形崩溃了，不能将任何相邻距离放入不存在的对边，所以比例为0。当角度为45度时，两边相等，所以比例为1。当继续旋转时，可以迅速将更多减小的相邻放入增长的垂直对边。直到大约90度时，可以将无限多的不存在的相邻放入垂直对边，图形线朝无限增长。

直到过了90度，模式会翻转，相邻边现在是一个微小的负数，所以图形线从负无穷大向上增长。随着相邻边开始变长，能够放入的相邻边就会减少，比例会收缩，直到再次达到0，并且模式会重复，这种关系称为正切。

正弦余弦和正切本质上只是可以用来看待一个点与原旋转模式的三种不同视角。