第六篇　被"卷积"的馒头

有一个早点铺子生意好，供不应求，就买了一台机器生产馒头。假设馒头的生产速度是 f(t)，那么一天后生产出来的馒头总量为f(t)在区间[0，24小时]的积分。另外，馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为 g(t) 。比如10个馒头，24小时会腐败10*g(t)在区间[0，24小时]的积分。我们不难想到，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒头，一天后会经历23小时的腐败。如此，我们简单思考下，很容易得出，一天后（24小时后），馒头总共腐败f(t)g(24-t)在区间[0，24小时]得积分，这就是卷积的馒头。

对这个例子我们再深入思考下，f（t）是什么？其实f（t）就是馒头背后的随机空间随机分布函数。馒头背后 随机空间是什么？小白臆想，这个生产馒头的机器的厂家，机器的零件，机器零件的构造，机器基于技术原理，操作机器的人，生产馒头当天操作机器的人的心情，当天面粉的质量，当天的天气 等等，明白小白的意思吧！就是馒头的生产速度f（t）背后有很多因素随机的叠加在一起，决定了馒头的生产速度，这些因素又都是由其他因素随机叠加而成！也就是这台机器当前一个小时能生产出多少馒头的背后有一个极度复杂的随机世界，而这个f（t）是这个随机世界（馒头生产的随机世界）的分布函数。一个时间段内，生产馒头的数量，是这个f（t）在这个时间段内的积分。用概率论的术语讲，这个f（t）就是馒头生产的背后的随机世界的"概率密度函数"。前面说到这个f（t）是生产馒头的速度。原来速度的本质就是密度。如此说来，小白越来越相信这个世界的本质是筛子了。

好了，下面咱们再思考下，一个图片和图片中像素背后的随机世界。有了刚才馒头生产的随机世界的解释，我们不难依葫芦画瓢，去臆想下像素和图片背后的随机世界。画这幅图片的画家的经历，年龄，画画时手中笔，笔 的材料，颜料的成分，当画笔移到当前一个像素时，画家的手细微的轻重，画画当天的天气，湿度，等等这些因素随机的叠加在一起，促成了当下的这幅画，而这些因素又是其他不同的因素随机叠加在一起促成的。

好了，这幅画的本质其实和机器生产馒头的本质是一样的。这个涂满不同颜色的所谓的"画"从一定程度上理解等同于刚才机器生产馒头的速度f（t）（这幅"画"就是画背后随机世界的概率密度函数）；画上的像素等同于机器在一个小时生产馒头的数量。即像素是画在矢量空间区间的积分，馒头的数量是f（t）在矢量时域区间的积分。像素是一个样本，机器一个小时生产的馒头也是一个样本。机器24小时内每个小时生产的馒头数量统计在一起，是一个样本集合，这个集合体现着概率密度函数f（t）的分布。这幅图片上所有的元素统计在一起，是一个样本集合，这个集合体现这幅图片。小白明白了，原来早餐店主通过机器做馒头和画家拿笔作画对于这个随机世界的造物主来说没有任何区别。只不过，一个是时域的函数（机器做馒头），一个是空域的函数（画）。当然，如果从画家创作这个图片的过程角度看的话，也是一个时域的函数（就是这幅画形成的过程）。

第七篇　卷积为什么叫"卷积"？而不叫"卷加"

这一节，小白是想诉说下小白刚才想到的一个问题。前面提到，馒头腐烂的过程叠加在馒头生产的过程是一个卷积的过程；而给图像降噪平滑的过程也是一个卷积的过程。也就是是说，去除噪声和馒头腐烂在某种意义上是一个等同的过程。也就是说，含有噪声的图片，和不腐烂的馒头是一致。我们再想，在图片上加噪声，是一个加的形成，而把腐烂的馒头转化成不腐烂的馒头只需要把腐烂的样本加上就行了，但是，为什么去这些噪声以及腐烂的过程，不管从卷积的维度还是傅里叶变化后频率权重的乘积都是一种"乘积"的形式呢？

小白是这样想的。g（t）是机器生产馒头的腐烂过程的密度分布函数，所以，对这个函数在它时域定义域上积分，应该是腐烂的总的馒头数目。所以，我们选定一个小时的样本（有腐烂过程参与），如果把这个样本内的馒头变成没有腐烂的，这个方法就是把当前样本的馒头（有腐烂过程参与）加上腐烂概率密度函数（或者腐烂速度函数）g（t）在当前这个小时的积分。再具体一下，这个积分的结果是个分数（比如十分之一，或一百分之一。从概率面密度的角度上是个概率），这个分数再乘以总共腐烂的馒头的数量（这个总的腐烂馒头数量是什么？小白就不说了）。所以，虽然有腐烂的样本得到没有腐烂的样本是一个"加"的动作，但加多少是"乘积得来的"。所以，腐烂的过程，腐烂多少也是一个"乘积"过程。我们再回到图片加噪和去噪，也应该是如此，具体操作就是，比如根据高斯密度函数生成一个噪值，加到像素上，然后再利用高斯密度函数通过"乘积"的过程，也是卷积运算去噪就可以了。