质数（也叫素数）是除了1和它本身之外没有其他因数的自然数。 它们是所有整数中特殊又孤独的存在, 而它的孤独不单单是与其他合数的格格不入， 更甚的是孪生质数之间相互吸引,却无法真正靠近的那种孤独。

开启质数之旅

质数，可以说是数学领域中最庞大、最古老的数据集，数学家们历经 2300 年的努力一直在不断探索它的奥秘。那么是什么吸引无数杰出的数学家，数千年来前仆后继地投身于素数研究中?

古希腊数学家欧几里得、"数学英雄"欧拉、"业余数学家之王"费马、"数学王子"高斯……都曾痴迷于质数的无穷魅力。

费马猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想、孪生质数猜想等印证着人们探索质数神秘表象背后潜藏的奥秘的坚持和寻找通往未知道路的努力。质数神出鬼没，分布得极不规则，而且无穷无尽，怎样从自然数中把质数找出来？

公元前 200 左右，古希腊数学家埃拉托斯特尼(Eratosthenes)提出了素数的快速筛选法，这是一种简单且历史久远的筛法，用来找出一定范围内所有的素数。

用于求一定范围内的质数.

步骤如下：

（1）先把1删除；

（2）读取数列中当前最小的数2，再把2的倍数删除；（3）读取数列中当前最小的数3，再把3的倍数删除；（4）依次进行下去，直到把所求范围内的数均读取完，这种造质数表的方法被称为"埃拉托色尼筛选法"。

在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成素数，以增加两个齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数(即是这两个齿轮齿数的乘积，两个素数的最小公倍数就是它们的乘积)，这可以防止有的齿经常和另一个齿轮的某一齿单一接触(特别是当这个齿设计有一些小的缺陷时，任何机械工程都是有一些小误差的)，可增强耐用度、减少故障。

大家熟知的知了，学名叫做蝉，在自然界进化出了非常特别的繁殖周期，目前发现的有13年蝉、17年蝉等(读者可以看参考文献了解更多细节)，也就是它们的幼虫需要在地底下分别生活13年、17年才能破土而出，蝉出土后的生命一般只有2个月左右，为了绽放两个月的生命，它们需要在毫无光亮的地底下生活13年、17年，生命是多么的神奇和伟大啊！

13年蝉、17年蝉之所以进化出这种奇特的繁殖周期，是为了逃避天敌的侵害并安全延续种群，因而演化出一个漫长而隐秘的素数生命周期(13、17都是素数)。当蝉的繁殖周期是13、17年时，蝉与它的天敌繁殖周期碰到一起就需要经过它们繁殖周期的乘积这么多年，而如果他们的繁殖周期碰到一起的话，天敌的幼虫就会以蝉的幼虫为食，对蝉的种群延续是很不利的。蝉进化出这么奇怪的繁殖周期就是为了避免天敌的伤害，这里我们进一步看到了生物进化的魅力。

除了蝉以外，在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次使用的有效性也得到了科学的证明：实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的，并且需要在害虫繁殖的高潮期使用，这样害虫很难产生抗药性。这样使用主要是为了将相邻批次的繁殖期的害虫都被杀虫剂杀掉，避免了不同次代的害虫之间的交配繁殖。

有本书叫《质数的孤独》，是一个意大利著名作家保罗•乔尔达诺写的。这是一本关于童年经历、爱与孤独的小说小说的男女主人公就像两个孪生质数，彼此相近却永远无法靠近，该书有力地表现了人性的孤独，并深刻剖析了造成这种孤独的原因.

我最开始看书的题目时看成了孤独的质数。大概是我主观上已经认定了质数注定是孤独的。在数学里，把相差为2的两个质数叫做"孪生质数"。孪生质数并不少见，3和5,5和7,11和13……它们相似相近却永远无法在一起，中间永远夹着一个数字，真是数字界的一个爱情悲剧。

2018 年 3 月 20 日挪威科学与文学院宣布，将 2018 年度阿贝尔奖授予美籍加拿大数学家罗伯特·朗兰兹(Robert Langlands)，以表彰他在数学领域所作出的终身成就。他提出的最终以他名字命名的数学理论"朗兰兹纲领"(Langlands program)，通过与素数的共同联系将几何学、代数学和分析学等概念结合起来，在数学的众多分支领域之间架起了"桥梁"。

探寻经典问题

例1. （《时代学习报》数学文化节试题）菲尔兹奖被誉为"数学界的诺贝尔奖"，只奖励40岁以下的数学家.华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖.我们知道正整数中有无穷多个质数（素数），陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数（素数）的数组.例如当k=3时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数；而____，______，_______是间隔为12的3个质数.（由小到大排列，只写一组3个质数即可）

解析：从简单的质数入手，可写两组：5，17，29或29，41，53.

与本例相关的著名李生质数猜想：是否存在无限多个质数P，使得P+2也是质数？如3，5；5，7；11，13；17，19；…

陶哲轩，2008年11月20日美国《探索》杂志上，20位40岁以下的科学家被冠以"最具智慧的头脑"称号，华裔澳大利亚人陶哲轩名列第一.13岁获得国际数学奥林匹克竞赛的金牌，24岁被评为终身教授，2006年获得菲尔兹奖，时年31岁。广泛的兴趣、丰富的知识储备、深刻的洞察力以及能敏锐地发现那些陌生的问题同自己最擅长领域的本质关系，是他最大的特色。

例2证明：质数有无穷多个。

公元前 300 年，亚历山大里亚的数学家欧几里得（公元前330年一公元前275年）描述到："素数是只能用 1 来计数的数。"这意味着素数不能被除了 1 以外的任何小于自身的数整除。并且为了保证整数的唯一分解，数学家们并不把 1 看作素数。

家欧几里得在其不朽名著《几何原本》中汇总了几何学及数论，并证明了"质数有无穷多个"

欧几里得认为：假设质数是有限的，只有P₁，P₂…，Pｎ，这n个，那么，其余所有自然数都是这n个质数的乘积，都为合数，即其他的所有自然数都能被P₁或P₂，.…或Pｎ整除.

但P₁·P₂·P₃．．．Pｎ+1无法被P₁或P₂…或Pｎ，整除，与上述假设矛盾。

故原假设不成立，从而证明了质数有无穷多个。

马林·梅森（1588-1648），法国天主教会修道士，在哲学、数学等领域造诣颇深，曾与费马、伽利略、帕斯卡、笛卡尔等人频繁通信交流，交往广泛的梅森成为欧洲科学家之间的桥梁和"信息交换站"．

梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径；它的探究推动了数学皇后——数论的研究，促进了计算技术、程序设计技术、密码技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。

探寻梅森素数最新的意义是：它促进了网格技术的发展。而网格技术将是一项应用非常广阔、前景十分诱人的技术。另外，探寻梅森素数的方法还可用来测试计算机硬件运算是否正确。

例4（北京大学自主招生试题）最多能找到多少个两两不相等的正整数，使其中任意三个数的和为质数？说明你的理由.

解析：因要求使其中任意三个数的和都是质数，故可将正整数按模3分类：3k，3k+1，3k+2，k为正整数，由此展开讨论。

若三类数各取一个：3a，3b+1，3c+2，则3a+3b+1+3c+2=3（a+b+c+1），这三个数的和不是质数，故三类数中至多可以取到两类。

另外，若某一类数3k+i（i=0，1，2）至少取到3个：30+i，3b+i，3c+（i=

0，1，2），则3a+i+3b+i+3c+i=3（a+b+c+i）（i=0，1，2），这三个数的和不是质数，故每类数中至多只能取2个.

综上所述，至多有2×2=4个两两不等的正整数，使得任意三个数的和都是质数，例如1，3，7，9.

质数为何与众不同？为什么要研究质数？

寻找最大质数，犹如物理学家寻找更小的基本粒子，天文学家在不断追寻不为人知的星体.这种单纯为满足求知欲的好奇心，正是人类突破知识领域的动力。今天，人们已认识到：互联网交易的安全性（强大的密码系统）是建立在"分解出大整数的约数（质数）是极其困难的问题"这一基础上的。

素数是人类追寻知识过程中最无奈的谜题，怎样才能预测下一个素数？有何公式可以生成素数？在素数表面的噪音之下潜藏着意料之外的和谐.1859年，德国数学家黎曼提出一个关于这首"神秘乐曲"的大胆预言，这个预言的答案将在电子商务、量子力学和计算机科学等领城产生革命性的影响。

2013年4月17日，张益唐在《数学年刊》上投稿证明了"存在无数多个质数对（p，g），其中每一对中的质数之差，即p和g的距离不超过七千万"

令人遗憾的是，尽管人类早在2500多年前就发现了质数，但时至今日仍未能完全揭开笼罩在质数上的神秘面纱.欧拉曾感叹："世界上有许多人类智慧无法解释的奥秘，看一眼质数表就会发现，它是如此毫无秩序，毫无规则可言。"

张益唐，1955年生于上海，1978年考入北京大学数学系。

他的证明在推动解决孪生素数猜想的道路上迈出了一大步，分别获得瑞典2014年度罗夫·肖克奖、美国麦克阿瑟天才奖。"我的心很平静，我不大关心金钱和荣誉，我喜欢静下来做自己想做的事情。"

体验质数魅力

1．（武侯区校级自主招生）设合数k满足1＜k＜100，若k的数字和为质数，就称合数k为"山寨质数"，则这种"山寨质数"的个数是_____个．

【解析】分别从质数的定义分析进而分别得出和为质数的山寨质数．

用S（K）表示k的数字和；而M（p）表示山寨为质数p的合数的集合．

当k≤99时，S（k）≤18，不大于18的质数共有7个，它们是：2，3，5，7，11，13，17，

山寨为2的合数有M（2）＝{20}，而M（3）＝{12，21，30}，

M（5）＝{14，32，50}，M（7）＝{16，25，34，52，70}；

M（11）＝{38，56，65，74，92}，M（13）＝{49，58，76，85，94}，M（17）＝{98}，共得23个山寨质数．故答案为：23．

变式1．已知三个合数A、B、C两两互质，且A×B×C＝11011×28，那么A+B+C的最大值为_____．

【解析】：因为11011×28＝（11×11×13×7）×（2×2×7）＝（11×11×13）×（7×7）×（2×2），

要使A+B+C最大，且A、B、C为两两互质的合数，则A＝11×11×13＝1573，B＝7×7＝49，C＝2×2＝4，那么A+B+C＝1626．故答案为：1626．

变式2．规定：a⊕b＝a2+b，a⊗b＝（a+b）（a﹣b），若m是最小的质数，n是大于100的最小的合数，则m⊗（m﹣n）＝____, m⊕（m⊗n）＝_____．

【解析】由于m是最小的质数，n是大于100的最小的合数，由此得到m＝2，n＝102，然后分别代入两个计算的式子根据定义的运算法则计算即可求解．

∵m是最小的质数，n是大于100的最小的合数，∴m＝2，n＝102，

∴m⊗（m﹣n）＝2⊗（2﹣102）＝﹣9996，

m⊕（m⊗n）＝2⊕[（2+102）（2﹣102）]＝2⊕（﹣9996）＝4+（﹣10400 ）＝﹣10396．

故答案为：﹣9996，﹣10396．

变式3．（蚌埠校级自主招生）已知质数x，y，z满足19x﹣yz＝57，则x+y+z＝_____．

【解析】：∵yz＝19x﹣57＝19（x﹣3），

∴右边是19的倍数，所以y和z中有一个是19，

设z＝19，∴y＝x﹣3，∴x﹣y＝3，

∵相减是奇数，所以x和y一奇一偶，

∵偶质数只有2，所以y＝2，x＝5，所以x+y+z＝26．

【点评】此题比较复杂，考查的是质数与合数的概念．如果一个数的因数除了1和它本身无其它，这样的数叫质数；如果一个数的因数除了1和它本身还有其它，这样的数叫合数．

变式4．若三个质数x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，则x+y+z的值是___或___．

【解析】：∵三个质数x，y，z使xyz＝11（x+y+z）成立，

∴x，y，z中必有一个是11，令x＝11，

则11yz＝11（11+y+z），即：y（z﹣1）＝11+z，

∴y＝1+ 12/(z-1)，

∵y是质数，∴z﹣1＝1或2或3或4，

∴z＝2或3或4或5，

∵z是质数，∴z＝4不符合题意，舍去，

当z＝2时，y＝13，

∴x+y+z＝11+13+2＝26，

当z＝3时，y＝7，

∴x+y+z＝11+7+3＝21，

当z＝5时，y＝4，y不是质数，舍去，

即：x+y+z的值是21或26，故答案为：21，26．

∴p＝2，则q＝13，

此时p+3＝5，1﹣p+q＝12，2p+q﹣4＝13，

∵5²+12²＝13²，∴5、12、13为边长的三角形为直角三角形．故选：B．

变式1．已知n是整数，且|n²+2n﹣224|是质数，则n＝______．

【解析】先把n²+2n﹣224分解成两个因式积的形式，再根据n是正整数及质数的定义求出n的值即可．

当n+16＝1，n＝﹣15，则n﹣14＝﹣29；

当n+16＝﹣1，n＝﹣17，则n﹣14＝﹣31；

当n﹣14＝1，n＝15，则n+16＝31；

当n﹣14＝﹣1，n＝13，则n+16＝29；

∴n＝﹣15或﹣17或15或13．

故答案为：﹣15或﹣17或15或13．

3．求证：存在无穷多个自然数k，使得n4+k不是质数．

当a≥2时，这是两个大于1的自然数的乘积，因为a有无穷多个，所以k也有无穷多个．

即存在无穷多个自然数k，使得n4+k不是质数．

4．（2019春•南岸区校级期中）材料：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数（也称为质数），否则称为合数．其中，1和0既不是质数也不是合数，最小的素数是2．数学家欧几里得在《几何原本》中对此进行过详细论述下面我们来了解两种特殊的素数：

①如果两个素数之间相差2．则称为"孪生素数"．例如3和5，5和7，11和13等都是孪生素数．

②29391这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是素数，还因为把最末位数字依序"截尾"后，余下的数仍是素数．如：29391，2939，293，29，2．具有这样性质的数叫"截尾素数"．

请用以上材料解决下列问题；

（1）请直接写出在20～100的自然数中，所有的由两个"截尾素数"组成的"孪生素数"；

（2）如果三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，求这三个素数．

【解析】：（1）在20～100的自然数中，所有的由两个"截尾素数"组成的"孪生素数"有：29和31，71和73；

（2）设三个素数为a、b、c，则abc＝23（a+b+c），

可设a＝23，b≥c，则bc＝23+b+c，变形得bc﹣b﹣c+1＝24，

∴b（c﹣1）﹣（c﹣1）＝24，

∴（b﹣1）（c﹣1）＝24＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，

解得符合条件的b＝13，c＝3或b＝7，c＝5．

故这三个素数是23，13，3或23，7，5．

【点评】本题考查了质数与合数，"截尾素数"和"孪生素数"，正确理解素数的意义并列出方程组是解题的关键．

5.埃拉托色尼筛选法是世界上最古老的一种求质数的方法.在以后的几千年中，数学家又发明了一些找质数的方法.1934年，也就是埃拉托色尼筛选法问世两千多年后，一位年轻的印度学生辛答拉姆创造了如图所示的一个数表。这种找质数的方法被称为"辛答拉姆筛法"。

你能发现其中质数的排列规律吗？

解析：显然，第一行（最上边一行）和第一列（最左边一列）中的数是相同的，在这一行（列）中，从第2个数起，每一个数与前面相邻的一个数相差3，例如7-4=10-7=13-10=16-13=…=3；第二行（列）中，从第2个数起，每一个数与前面相邻的一个数相差5；第三行（列）相差7；第四行（列）相差9；第五行（列）相差11.

在这个数表中，随便找一个自然数M，那么2M+1一定不是质数.例如，M=

4，2M+1=2×4+1=9，9不是质数；M=17，2×17+1=35，35也不是质数.而这个数表中没有的自然数M，则2M+1一定是质数.比如，M=5不在数表中，2×5+1=11，11是质数，M=8，2×8+1=17，17也是质数

6. （青少年国际城市邀请赛试题）若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个"绝对质数"。

例如2，3，5，7，11，13（31），17（71），37（73），79（97），113（131，311），199（919，991），337（373，733）…都是绝对质数.求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7与9.

解析：正难则反。假设一个绝对质数同时含有数字1，3，7，9，由此导出矛盾，这是解题的关键，一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，通过适当排列后，这个数能被2或5整除。设N是一个同时含有数字1，3，7，9的绝对质数.

其中一定有一个能被7整除，这个数就不是质数，矛盾.

故原假设不成立，即绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9.

质数也好，合数也罢，反正都是自然数。其实合数也挺不容易的，即使是相邻的两个数字，距离再近，总是有先后吧，看似好像紧紧地贴在了一起，但是你就是你，独一无二，既与众不同，又孤独无依。将数学和哲学实现完美结合的古希腊人，视数学为哲学之起点，我不懂当前学问高深的数学，但是，双手赞同数学本来的含义：即学习、学问、科学之意。然而今天，数学已经成为一门抽象的学科，数学孤独了，一门学科尚且如此，更何况一个质数呢？所以孤独是注定的。