前一篇文章36 投资组合收益率的计算中介绍了收益率的计算方法，作为其姊妹篇，本文主要介绍投资组合风险计量方法的数学理论基础。

首先需要搞清楚与度量风险有关的几个重要的理论点。不要问为什么，反正很重要。等您把风险度量的原理彻底搞懂的时候自然会明白。由于这个知识点涉及的数学定义比较多，请您务必静下心来认真搞懂每一个点。不论您是高职生，本科生，还是财务类专业的研究生，本着够用，本文没有过多理论延伸，感兴趣的可以自行延伸学习。但是，搞懂本文介绍的几个点是后续计算所必须的。

不失一般性，我在文末给出python的程序实现，仅供您学习参考。

今天是国庆节，祝伟大祖国更加繁荣富强！也祝大家国庆快乐！

正文起：

1、方差

方差（variance/deviation Var），这一词语率先由罗纳德·费雪（Ronald Fisher）在其论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。是在概率论和统计上用来对随机变量或一组数据离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量与其数学期望之间的偏离程度，即二阶中心矩。统计中的方差是样本值与样本均值离差平方和的平均数。数学计算式如下：

1.1 总体方差计算公式

1.2 样本方差计算公式

实际中总体均值很难取得，人们常用样本统计量代替总体统计量。经校正后，样本方差计算公式为：

（1）离散型数据的方差

即：

（2）连续型数据的方差

即：

另根据二阶矩得：

样本方差和样本标准差（方差的平方根）用来衡量一个样本波动的大小，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

2、协方差

两个实随机变量X与Y之间的协方差Cov(X,Y)定义为：

即：

从定义看，协方差表示两个变量与其均值误差乘积的数学期望。

（1）如果X-E(X)>0 与Y-E(Y)>0，即两个变量的变化方向一致，则cov(x,y)>0。

（2）如果X-E(X)>0 与Y-E(Y)<0，即两个变量的变化方向相反，则cov(x,y)<0。

（3）如果X-E(X)<0 与Y-E(Y)>0，即两个变量的变化方向相反，则cov(x,y)<0。

（4）如果X-E(X)<0 与Y-E(Y)<0，即两个变量的变化方向一致，则cov(x,y)>0。

显然，如果x与y彼此独立，则cov（x,y）=0，因为两个独立的随机变量E[XY]=E[X]E[Y]。协方差为0的两个随机变量是不相关的。

由协方差定义知：

Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。即两组变量一样的时候的协方差就是该变量的方差。

显然，协方差最明显的作用是用来判断变量变动方向是否一致，即变量之间的相关性。

3、相关系数

皮尔逊(Pearson)相关系数定义为：

关于相关系数与协方差，方差之间的关系在上面的公式中已经表示的很清楚了，在此不做过多说明。对此想深入了解的可以查阅相关统计学书籍。

4、正定矩阵(positive definite matrix)

（1）广义定义：设A是n阶方阵，如果对任何非零向量X，都有XTAX>0，其中XT表示X的转置，就称A为正定矩阵。

如果B为n阶方阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。

（2）狭义定义：一个n阶的实对称阵A是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量X，都有XTAX> 0，其中XT表示X的转置。

（3）对称正定矩阵。

一个实对称矩阵 A 正定，当且仅当存在可逆矩阵C，使得A=CTC；

一个实对称矩阵 A 正定，当且仅当A 的特征值全大于零；因此，求出A的所有特征值，若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

5、半正定矩阵（positive semidefinite matrix）

（1）广义定义：设A是n阶方阵，如果对任何非零向量X，都有XTAX≥0，其中XT表示X的转置，就称A为半正定矩阵。

（2）狭义定义：设A为实对称矩阵，若对于每个非零实向量X，都有XTAX≥0，则称A为半正定矩阵，称XT'AX为半正定二次型。XT表示X的转置。

设A是n阶实对称矩阵，A的特征值均为非负的；存在n阶实矩阵C，使A=CTC。

6、Cholesky分解

当 A 是一个实对称正定矩阵（SPD， real Symmetric positive definite matrix）时，它就可以分解成下三角矩阵 C 和上三角矩阵CT的乘积。

即：A=CTC,C为分解出的下三角矩阵。

为啥要介绍这些理论？

因为，后面计算投资组合的标准差（风险），要开根号，根号里的数据必须大于等于零。否则在实数域范围内无法求解。

这些概念将在后面的计算都会用到，所以不要以为是多余的，同时要树牢观念，数学的观念。

基本概念就介绍这么多，感兴趣的可以查阅相关资料以获得更加深入的学习。

7、相关算法程序

不知道何故，系统的代码块功能调试中，今日头条平台提示说该功能逐步开放。

有需要查看相关算法程序的，请查阅并关注我的微信公众号文章：37 投资组合风险计量（理论基础）。

【仅供参考】

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