题目描述：

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为1000。

示例 1：

输入: "babad"输出: "bab"注意: "aba" 也是一个有效答案。

示例 2：

输入: "cbbd"输出: "bb"

这篇文章是为中级读者而写的。它介绍了回文，动态规划以及字符串处理。请确保你理解什么是回文。回文是一个正读和反读都相同的字符串，例如，“aba” 是回文，而 “abc” 不是。

方法一、最长公共子串：

常见错误

有些人会忍不住提出一个快速的解决方案，不幸的是，这个解决方案有缺陷（但是可以很容易地纠正）：

反转 S，使之变成 S​′​​。找到 S 和 S​′ 之间最长的公共子串，这也必然是最长的回文子串。

这似乎是可行的，让我们看看下面的一些例子。

例如，S = “caba”，S​′​ ​= “abac”：

S 以及 S′ 之间的最长公共子串为 “aba”，恰恰是答案。

让我们尝试一下这个例子：S = “abacdfgdcaba”，S​′ ​​= “abacdgfdcaba”：

S 以及 S​′ 之间的最长公共子串为 “abacd”，显然，这不是回文。

算法

我们可以看到，当 S 的其他部分中存在非回文子串的反向副本时，最长公共子串法就会失败。为了纠正这一点，每当我们找到最长的公共子串的候选项时，都需要检查子串的索引是否与反向子串的原始索引相同。如果相同，那么我们尝试更新目前为止找到的最长回文子串；如果不是，我们就跳过这个候选项并继续寻找下一个候选。

这给我们提供了一个复杂度为 O(n^2) 动态规划解法，它将占用 O(n^2) 的空间（可以改进为使用 O(n) 的空间）。

方法二、暴力法：

很明显，暴力法将选出所有子字符串可能的开始和结束位置，并检验它是不是回文。

复杂度分析

时间复杂度：O(n^3)，假设 n 是输入字符串的长度，则为此类子字符串(不包括字符本身是回文的一般解法)的总数。因为验证每个子字符串需要 O(n) 的时间，所以运行时间复杂度是 O(n^3)。空间复杂度：O(1)。方法三、动态规划：

为了改进暴力法，我们首先观察如何避免在验证回文时进行不必要的重复计算。考虑 “ababa” 这个示例。如果我们已经知道 “bab” 是回文，那么很明显，“ababa” 一定是回文，因为它的左首字母和右尾字母是相同的。

复杂度分析

时间复杂度：O(n^2)， 这里给出我们的运行时间复杂度为 O(n^2) 。空间复杂度：O(n^2)， 该方法使用 O(n^2) 的空间来存储表。

补充练习

你能进一步优化上述解法的空间复杂度吗？

方法四、中心扩展算法：

事实上，只需使用恒定的空间，我们就可以在 O(n^2) 的时间内解决这个问题。

我们观察到回文中心的两侧互为镜像。因此，回文可以从它的中心展开，并且只有 2n - 1 个这样的中心。

你可能会问，为什么会是 2n - 1，而不是 n 个中心？原因在于所含字母数为偶数的回文的中心可以处于两字母之间（例如 “abba” 的中心在两个 ‘b’ 之间）。

复杂度分析

时间复杂度：O(n^2)， 由于围绕中心来扩展回文会耗去 O(n)O(n) 的时间，所以总的复杂度为 O(n^2)。空间复杂度：O(1)。方法五、Manacher 算法：

还有一个复杂度为 O(n) 的 Manacher 算法，你可以在这里找到详尽的解释。然而，这是一个非同寻常的算法，在45分钟的编码时间内提出这个算法将会是一个不折不扣的挑战。但是，请继续阅读并理解它，我保证这将是非常有趣的。