数学对象的产生与演化

数学具有高度抽象性、逻辑严密性和广泛应用性。在数学中研究量的关系时，注意到的仅仅是它们的定义本身中所包含的东西。相应地，数学结论是用从定义出发的推理得到的。我们仅从字面上来理解这些话可能会认为数学概念十分严格的定义的形成真正先于相应的数学理论的建立，那是不正确的；事实上，概念本身随着理论的发展，由于理论发展的结果而更加精确化，对整数概念的深刻分析，正如几何公理的精确公式化一样，不是在古代，而是直到十九世纪末才作出来。设想似乎有一种绝对精确地定义了的数学概念，那是更加错误的，任一概念，不管它是怎样被精确地定义了，也还是要变动的，它随着科学的发展而发展和精确化。这已经由全部数学概念的发展所证明，这只是再一次证实了辩证法的这样一条基本定理：世界上没有任何东西是完全不变和无论如何也不发展的。

所以对于数学概念，第一，只能说到它们的充分的确定性，无论如何也不能说到它们的完全的确定性。第二，应该注意到它们的定义的精确性和明显性以及对它们分析的深度都是随着数学的发展而不断发展着的。在这里我们注意的是数学概念的充分确定性。总之，这是数学概念形成的基本规律之三。

因此，我们说数学概念，它绝不是唯心主义者们所认为的只是人头脑中思维的产物。它的形成和演变，是社会实践和经验的总结。这种总结在未来不仅不会终止，还会继续深层次演变和发展。

数学学科的特征是什么？数学源自于人类简单化的追求，数学是精确的、严谨的、简洁的、概括的、统一的。

从古到今数学都是有着多种对象的学科，这些对象有着不同的来源。麦克莱恩（ Maclane , Saunders ,1909-）曾列举人类15种活动及其所产生的数学观念，虽然不一定准确而全面，却可反映出众多对象的不同来源：

活动 观念 概念表述

收集 集体 （元素的）集合

数数 下一个 后继、次序、序数

比较 计数 一一对应、基数

计算 数的结合 加法、乘法规则、阿贝尔群

重排 置换 双射、置换群

计时 先后 线性顺序

观察 对称 变换群

建筑赋形 图形、对称 点集

测量 距离、广度 度量空间

移动 变化 刚性运动、变换群、变化率

估计 逼近、附近 连续性、极限、拓扑空间

挑选 部分 子集、布尔代数

论证 证明 逻辑连词

选择 机会 概率（有利／全部）

相继行动 接续 结合、变换群

显然这些概念决不是一起形成的，而且其中许多概念是经历极为曲折的过程才逐步得到的，如群与拓扑空间。

最早形成的恐怕是计数的观念以及一些直观的几何图形的观念，这构成数学的原始对象--数与形，但还没有形成一门学术。只有在产生系统的技艺与操作之后，才形成数学最原始的对象﹣﹣计算技术（算术）以及测量与绘图技术（测绘术）,这些实际上是技术而不是学问。