方程的根与函数零点

① 方程 x²-2x-3 = 0 与函数 y = x²-2x-3

② 方程 x²-2x+1 = 0 与函数 y = x²-2x+1

③ 方程 x²-2x+3 = 0 与函数 y = x²-2x+3

函数零点的概念：

对于函数 y = f(x) ，使 f(x) = 0 的实数x叫做函数 y = f(x) 的零点。即函数 y = f(x) 的零点就是方程 f(x) = 0的实数根，就是函数 y=f(x) 的图象与 x 轴的交点的横坐标。

方程 f(x) = 0 有实数根(判别式 : △≥0 )→函数 y = f(x) 的图象与x轴有交点→函数y=f(x) 有零点。

如果函数 y = f(x) 在区间 [a，b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0 ，那函数y=f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在 c∈(a，b) ，使得 f(c)=0，c 也就是方程 f(x)=0 的根。

用二分法求方程的近似解

如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值。通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

一般地，我们把 x = (a+b)/2 称为区间 (a，b)的中点。

取中点法

对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b) ＜0 的函数 y = f(x) ，通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：

⑴ 确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε。

⑵ 求区间(a，b)的中点c。

⑶ 计算f(c)。

① 若f(c)=0，则c就是函数的零点。

②若 f(a)·f(c)＜0，则令 b=c(此时零点xo∈(a，c))。

③若 f(c)·f(b)<0，则令 a=c(此时零点xo∈(c，b))。

⑷ 判断是否达到精确度ε：即若 |a-b| ＜e，则得到零点近似值a (或b)；否则重复2～4。

中国历史上的方程求解

国外历史上的方程求解

函数模型

假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案 一 ：每天回报 40 元。

方案 二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元。

方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番。

哪一方案更合适？

第x天的回报

函数图象

第x天的总回报

对数函数、指数函数、幂函数图象的增长差异

图表 ①

图表 ②

① ②

思考训练

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