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本专题旨在快速了解常见的数据结构和算法。

在需要使用到相应算法时，能够帮助你回忆出常用的实现方案并且知晓其优缺点和适用环境。并不涉及十分具体的实现细节描述。

图的最短路径算法

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

算法具体的形式包括：

确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。适合使用Dijkstra算法。确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。

主要介绍以下几种算法：

Dijkstra最短路算法（单源最短路）Bellman–Ford算法（解决负权边问题）SPFA算法（Bellman-Ford算法改进版本）Floyd最短路算法（全局/多源最短路）常用算法

Dijkstra最短路算法（单源最短路）

图片例子和史料来自：

算法介绍：

迪科斯彻算法使用了广度优先搜索解决赋权有向图或者无向图的单源最短路径问题，算法最终得到一个最短路径树。该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。

指定一个起始点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。

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使用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如下。

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我们还需要用一个一维数组dis来存储1号顶点到其余各个顶点的初始路程，如下。

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将此时dis数组中的值称为最短路的“估计值”。

既然是求1号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离1号顶点最近的顶点。通过数组dis可知当前离1号顶点最近是2号顶点。当选择了2号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即1号顶点到2号顶点的最短路程就是当前dis[2]值。

既然选了2号顶点，接下来再来看2号顶点有哪些出边呢。有2->3和2->4这两条边。先讨论通过2->3这条边能否让1号顶点到3号顶点的路程变短。也就是说现在来比较dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1号顶点到3号顶点的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1号顶点到2号顶点的路程，e[2][3]表示2->3这条边。所以dis[2]+e[2][3]就表示从1号顶点先到2号顶点，再通过2->3这条边，到达3号顶点的路程。

这个过程有个专业术语叫做“松弛”。松弛完毕之后dis数组为：

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接下来，继续在剩下的3、4、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点4，变为确定值，以此类推。

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最终dis数组如下，这便是1号顶点到其余各个顶点的最短路径。

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核心代码：

//Dijkstra算法核心语句 for(i=1;i3->…->1->2->3这样路径中，每绕一次1->-2>3这样的环，最短路就会减少1，永远找不到最短路。其实如果一个图中带有“负权回路”那么这个图则没有最短路。
代码实现：
#include int main(){ int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3; int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值 //读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数 scanf("%d %d",&n,&m); //初始化 for(i=1;i