《天才少女》是2017年马克·韦布执导的美国电影。下面的剧情介绍来自头条百科。

佛罗里达中部的一个小镇，七岁的小女孩玛丽（ 麦肯纳·格蕾丝饰）和她的舅舅弗兰克 （克里斯·埃文斯饰）生活在一起，弗兰克是一个修船工人，时不时接一些奇奇怪怪的活儿。玛丽身边有很多对她帮助很大、很积极正面的成人模范，包括弗兰克的邻居罗伯塔 （奥克塔维亚·斯宾瑟饰），还有她的老师邦妮 （珍妮·斯蕾特饰）。玛丽也是个数学天才，拥有万里挑一的聪明大脑。

弗兰克妈妈伊芙琳 （琳赛·邓肯饰）相信玛丽属于更适合成人的特殊学校，但弗兰克希望玛丽拥有一个更常规的童年——他相信这么做是尊重他的姐姐——也就是玛丽妈妈的遗愿。这场争论引发了一场关于玛丽未来抚养权问题的法律官司 。

今天我们来探讨一下，玛丽在入学第1天的课堂上展示数学天赋的两道口算题，普通人能否也像7岁的玛丽那样心算出来呢？

玛丽从小热爱数学，她用苹果笔记本学习数学，还看过一大堆高等数学书籍，自修了微积分。她的舅舅(美国队长)却把她送到普通小学，希望她能够过上快乐的普通人生活，避免走上孤独痛苦的天才之路。

入学第1天，玛丽对老师提出的简单算术问题不屑一顾，极不耐烦，感到无聊。邦妮老师想挫一挫她的锐气，叫玛丽站起来回答问题。题目难度逐渐升级。当邦妮老师问57×135=多少时？老师也不知道答案，快速拿起计算器。算出的答案和玛丽的回答丝毫不差。

更令邦妮老师震惊的是，玛丽还算出了答案的平方根。

从易到难，我们先来探讨一下，如何心算57×135=？最后再谈谈任何心算开平方。

因为电影只有答案没有解题过程，我们只好自己推理，还原出天才少女大脑的解题步骤，看看普通人能否完成任务。

用十字交叉法心算乘法

很可能玛丽是用十字交叉法来心算这道乘法题的。心算过程如下图所示。

为什么可以这样算？

请看下图，计算原理一目了然：

把135和57分解成130+5和50+7，就可以用十字交叉法来心算了。

格子乘法

考虑到玛丽出生于西方数学世家的家庭背景，可能她会使用西方数学界人士熟悉的格子乘法。

所谓格子乘法，就是用几条经线来代表一个乘数，用几条纬线来代表另一个乘数，数一数经纬线形成的格子有多少交叉点就得到了答案。用汉字来举例，计算3×3可以写个“田”字，数一数有9个交叉点，就得到3×3=9。

现在我们用格子乘法来计算135×57。

在纸上画140条经线，60条纬线，就得到8400个交叉点。减去多余的交叉点，就可以得到答案。

多余的5条经线产生了5×60=300个交叉点。

多余的3条纬线产生了3×140=420个交叉点。

有3×5=15个交叉点重复计算。

所以列式计算结果如下：

8400—300—420+15

=8400—705

=7695

我国古代数学家怎样开平方？

现在我们来看下一道题目：

我们把答案精度设定为小数点后保留一位有效数字。

我们先考虑古代数学家是怎样开平方的？

我国古代数学家是用完全平方公式来开平方的，这个方法适合心算。

首先可以确定，7695的平方根整数部分是两位数，十位数是8。

那么个位数怎么确定呢？

(a+b)²=a²+2ab+b²

=a²+b(2a+b)

a已经确定是80，确定b的思路如下：

正方形面积为7695，减去大正方形面积6400，还剩余1295。

b(2a+b)<1295

b(160+b)<1295

可以看出b=7比较合适，b=8就大于1295了。

7(160+7)

=1120+49

=1169

现在确定了7695的平方根整数部分是87，下一步需要确定小数点后的十分位数字。

∵1295—1169=126

∴b(2a+b)<126

把a=87代入上式

b(174+b)<126

那么，b应该是零点几呢？

可以看出，b=0.8就大于126了，所以

b=7

计算一下：

0.7(174+0.7)

=70+49+2.8+0.49

=121.8+0.49

=122.29<126

答案保留小数点后一位，需要计算到小数点后两位，再四舍五入保留一位有效数字。

不想继续开方了，怎么办？

心算一下87.75²=87.75×87.75就可以了。

用十字交叉法来心算。

过程请看下图。

于是知道7695的算术平方根保留小数点后一位是87.7。

这两道题目解答完了，我认为普通人按照以上方法也可以心算出来。

开平方是一个无法回避的问题，勾股定理，余弦定理，二次方程，三斜求积术等等都涉及到开平方。下面我们来回顾一下开平方的历史。

古希腊人如何开平方？

古巴比伦人，古希腊人(例如阿基米德，海伦)和电脑开平方的方法都是迭代法。

什么是迭代法？请看下图：

迭代法开平方包含了计算无理数的一般思想，即用有理数逐步逼近无理数的逐次逼近法。逐次逼近法是广泛用于科学计算的普遍方法。迭代法的精髓是收敛和自动纠错。即使初值错了，最后也能计算出比较接近的近似值。

应当如何设定平方根的初值呢？推荐一个好用的近似公式，请看下图：

计算平方根的近似公式

例题（1）：计算17的算术平方根

容易知道，根号17的整数部分是4，代入上图的公式，口算可得下图结果：

计算根号17的初值

取初值为4.125，用迭代法开平方，过程如下所示：

X₀=4.125

【4+（17-4×4）÷（2×4）=4.125】

X₁=4.1231060606

(X₀+17/X₀)÷2=X₁=(4.125+4.12121212121)÷2=4.1231060606 （17÷4.125=4.12121212121）

X₂=4.12310562561768

（17÷4.12310606060606=4.12310519062931）

X₃=4.12310562561766

【X₃=(X₂+17/X₂）÷2】（17÷4.12310562561768=4.12310562561764）

用Windows 10系统自带科学计算器对比结果如下：

根号17=‭4.1231056256176605498214098559741‬

迭代法就是除法和求算术平均数这两种操作的循环。

牛顿如何开平方？

以牛顿提出的广义二项式定理为基础的无穷级数法开平方。

大英图书馆前现代雕塑：计算中的牛顿

【无穷级数法】

1661年夏，牛顿离开家乡乌尔索普，就读剑桥大学三一学院。1663年，牛顿开始阅读欧几里得《几何原本》，之后攻读笛卡尔的《几何学》（勒内·笛卡尔引入坐标系，创立解析几何，1637年《几何学》与他的《方法论》一道发表，为以后牛顿和莱布尼茨分别提出微积分学提供了基础）。1665年初，牛顿发现了广义二项式定理，之后提出了“流数法”（微分学）。1666年，牛顿发明了“逆流数法”（积分学）。虽然当时的牛顿只是剑桥大学的无名之辈，但他为数学做出的贡献和非凡成就却堪称伟大。

如何用一句话来描述二项式定理？

将“两数之和”的“任意实数次幂”展开成“和”的形式。

1654年，帕斯卡建立了一般正整数次幂的二项式定理。1665年，牛顿在前人研究的基础上继续探索指数为分数和负数的情况，发现了广义二项式定理，把二项式定理从特殊推广到一般，拓展到无穷级数，这是一项非常了不起的成就。牛顿发现，利用无穷级数展开，不但求解面积问题时十分方便，而且可以用于开方运算和对数计算。这对牛顿以后的繁重的天文计算十分有帮助。牛顿曾把一个对数展开为无穷级数，计算到小数点后第55位。

二项展开式

上图是无穷级数法的数学原理。开平方的展开式见下图：

开平方和开平方取倒数的二项展开式

请欣赏牛顿的一道例题，求根号7的近似值。

截图1

截图2

截图3

下面我们再看一道例题：用无穷级数法求215的平方根。

215开平方

电影剧照

外婆出场了。

漂亮得不像实力派。

黑板上的QED是拉丁文的缩写，相当于中文的证讫或证毕。

这部电影挺温暖的，推荐大家观看。

2014年最强大脑邀请中国雨人周玮

表演了16位数开14次方，现场观众叹为观止。

还有更厉害的吗？

有，印度妇女沙昆塔拉计算201位数开23次方，答案是9位数。她的速度打败了当时世界最好的电脑。

华罗庚在杂志发表文章，解剖了速算的奥秘。请阅读下面的链接：

【「转载」关于开高次方的算法《天才与锻炼》（文 /华罗庚） - 今日头条】

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。