【题目呈现】

/，某水果商店购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查，这种水果在市场上的销量y(吨)与每吨的销售价x(万元)之间的函数关系如下图.

(1)求销售量y与每吨售价x之间的函数关系式;

(2)如果销售利润为w万元，请写出w与x之间的函数关系式;

(3)当每吨销售价为多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？

【分析】

(1)由图象可设y=Kx+b，将(0.6，2)，(1，1.6)代入解出K，b，进而得出关系式.

(2)由w=y(x一0.4)=(Kx+b)(x一0.4)，整理可得w与x的函数关系式.

(3)由w与x的函数关系式求出最值.

【答案解析】

解:(1)设销售量y与每吨售价x的函数关系式为y=Kx+b(K≠0)，

∴y与x的函数关系式为y=一x十2.6.

(2)w=y(X一0.4)=(一x十2.6)(X一0.4)

即W=一x²+3x一1.04.

(3)由w=一x²+3x一1.04

配方得w=一(x一1.5)²十1.21

∴当x=1.5时，w最大=1.21.

∴每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元.

2.九年级(3)班数学兴趣小组经过市场凋查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(元/件)，每天的销售量为P(件)，每天的销售利润为w(元,

(1)求出w与X之间的函数关系式;

(2)问:销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润;

(3)该商品在销售过程中，共有多少天的销售利润不好低于5600元？

【分析】

根据每天的销售利润w=每天的销售量P×(单件的售价y一单件的成本)

(1)从表中看P与x成一次函数关系，易求出，而每天的售价y元/件分两种情况，①在1到50天成一次函数变化;②在51到90天不变。所以w与x的关系也有两种，也就是分段函数关系。

(2)由于w与x是分段函数关系，所以哪一天销售利润最大且为多少也要两种情況比较之后确定。

(3)依据销售利润不低于5600元，分两种情況算出总天数。

【答案解析】

解:(1)当1≤x≤50时，设商品的售价y(元/件)与时间x(天)之间的函数关系式为y=Kx十b(K、b为常数且K≠0)，∵直线y=Kx十b过点(0，40)，(50，90)，

∴当1≤x≤50时，y=x十40.

当50<x≤90时，y=90.∴当售价y(元/件)与时间x(天)之间的函数关系式为y

由表中数据可知每天的销售量P与时间x成一次函数关系，设每天的销售量与时间x之间的函数关系式为P=mx+n(m、n为常数，且m≠0)，将(60，80)，(30，140)代入，

∴P=一2x+200(0≤x≤90，且X为整数，

当1≤x≤50时，w=(x+40一30)(一2x十200)=一2X²+180x十2000;

当50<x≤90时，w=(90一30)(一2x十200)=一120x+12000;

综上，每天的销售利润w与时间x之间的函数关系式是w

(2)当1≤x≤50时，w=一2x²+180x十2000=一(x一45)²+6050，∵a=一2<0且1≤x≤50，∴当x=45时，w取得最大值，最大值为6050.

当50<x≤90时，W=一120x+12000，∵K=一120<0，w随x的增大而减小，∴当x=50时，W取最大值，最大值为6000.∵6050>6000，∴当x=45时，w最大，最大值为6050.即销售第45天时，W最大，最大值为6050.

(3)当1≤x≤50时，令W=一2x²+180x十2000≥5600，解得30≤x≤50，50一30+1=21(天)，当50<x≤90时，令w=一120x十12000≥5600，解得50<x≤160/3，∵x为整数，∴50<x≤53，53一50=3(天)，21十3=24(天)，综上可知，该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元.

3.某商场经营某种品牌的玩具，购进时单价是30元，市场调查发现，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具.

(1)不妨设这种品牌玩具的销售单价为x元(x>40)，请你分別用含x的代数式来表示销售量y(件)和销售该品牌玩具所获得的利润w(元,，并把结果填写在表格中:

(2)在(1)的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，则该玩具的销售单价应定为多少元？

(3)在(1)的条件下，若玩具厂规定这种品牌玩具的销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售这种品牌玩具获得的最大利润.

【分析】

(1)依据销售利润=销售量×单件利润.∵单价每上涨1元，就会在销售量是600件的基础上少售出10件，现在销售单价为x元(x>40)，∴销售单价上涨(x一40)元，少售10(x一40)件∴销售量y=600一10(x一40)=1000一10x，而单件利润为(x一30)元，∴销售所获利润w=(x一30)(1000一10x)=一10x²+1300x一30000.

(2)解(1)中的w=10000即可.

(3)在要求的条件下，找出x的范围，再对应w关于x的二次函数解出最大利润.

【答案解析】

(1)

(2)由题意得，一10x²十1300x一30000=10000，解得x=50或x=80，故当玩具销售单价定为50元或80元时，可获得10000元的销售利润.

(3)根据题意可得1000一10x≥540且x≥44，解得44≤x≤46，W=一1x²十1300x一30000=一10(x一65)²+12250，当44≤x≤46时，w随x的增大而增大，∴当x=46时，w取得最大值，最大值为8640元，故商场销售这种品牌玩具获得的最大利润为8640元.

【反思】

一般利润问题，都是这种题型，取最值时特别要注意自变量的取值范围，根据范围结合二次函数图象，才能准确取得最值。

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