图的实际应用

在现实生活中，有许多应用场景会包含很多点以及点点之间的连接，而这些应用场景我们都可以用即将要学习的图这种数据结构去解决。

地图

我们生活中经常使用的地图，基本上是由城市以及连接城市的道路组成，如果我们把城市看做是一个一个的点，把道路看做是一条一条的连接，那么地图就是我们将要学习的图这种数据结构。

电路图

下面是一个我们生活中经常见到的集成电路板，它其实就是由一个一个触点组成，并把触点与触点之间通过线进行连接，这也是我们即将要学习的图这种数据结构的应用场景。

图的定义及分类

图是由一组顶点和一组能够将两个顶点相连的边组成的。

特殊的图自环：即一条连接一个顶点和其自身的边；平行边：连接同一对顶点的两条边；图的分类

按照连接两个顶点的边的不同（有没有方向），可以把图分为以下两种：

无向图：边仅仅连接两个顶点，没有其他含义；有向图：边不仅连接两个顶点，并且具有方向；无向图的相关术语相邻顶点：当两个顶点通过一条边相连时，我们称这两个顶点是相邻的，并且称这条边依附于这两个顶点。度：某个顶点的度就是依附于该顶点的边的个数。子图：是一幅图的所有边的子集(包含这些边依附的顶点)组成的图。路径：是由边顺序连接的一系列的顶点组成。环：是一条至少含有一条边且终点和起点相同的路径。连通图：如果图中任意一个顶点都存在一条路径到达另外一个顶点，那么这幅图就称之为连通图。连通子图：一个非连通图由若干连通的部分组成，每一个连通的部分都可以称为该图的连通子图。无向图的存储结构

要表示一幅图，只需要表示清楚以下两部分内容即可：

图中所有的顶点；所有连接顶点的边；

常见的图的存储结构有两种：邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵使用一个V * V的二维数组int[V][V] adj，把索引的值看做是顶点；如果顶点v和顶点w相连，我们只需要将adj[v][w]和adj[w][v]的值设置为1,否则设置为0即可。

很明显，邻接矩阵这种存储方式的空间复杂度是V^2的，如果我们处理的问题规模比较大的话，内存空间极有可能不够用。

邻接表使用一个大小为V的数组Queue[V] adj，把索引看做是顶点；每个索引处adj[v]存储了一个队列，该队列中存储的是所有与该顶点相邻的其他顶点。

很明显，邻接表的空间并不是是线性级别的，所以后面我们一直采用邻接表这种存储形式来表示图。

无向图的实现无向图的设计

类名

Graph

构造方法

Graph(int v)：创建一个包含v个顶点但不包含边的图

成员方法

public int v()：获取图中顶点的数量

public int e()：获取图中边的数量

public void addEdge(int v, int w)：向图中添加一条边 v-w

public Queue<Integer> adj(int v)：获取和顶点v相邻的所有顶点

成员变量

private final int v：记录顶点数量

private int e：记录边数量

private Queue<Integer>[] adj：邻接表

代码实现

public class Graph {    /**     * 记录顶点数量     */    private final int v;    /**     * 记录边数量     */    private int e;    /**     * 邻接表     */    private Queue<Integer>[] adj;    /**     * 创建一个包含v个顶点但不包含边的图     */    public Graph(int v) {        // 初始化顶点数量        this.v = v;        // 初始化边的数量        this.e = 0;        // 初始化邻接表        this.adj = new Queue[v];        for (int i = 0; i < adj.length; i++) {            adj[i] = new Queue<>();        }    }    /**     * 获取图中顶点的数量<     */    public int v() {        return v;    }    /**     * 获取图中边的数量     */    public int e() {        return e;    }    /**     * 向图中添加一条边 v-w     */    public void addEdge(int v, int w) {        // 在无向图中，边是没有方向的，所以，既要将w加入v的邻接表，也要将v加入w的邻接表        adj[v].push(w);        adj[w].push(v);        e++;    }    /**     * 获取和顶点v相邻的所有顶点     */    public Queue<Integer> adj(int v) {        return adj[v];    }}

在很多情况下，我们需要遍历图，得到图的一些性质，例如，找出图中与指定的顶点相连的所有顶点，或者判定某个顶点与指定顶点是否相通，是非常常见的需求。

有关图的搜索，最经典的算法有深度优先搜索和广度优先搜索，接下来我们分别讲解这两种搜索算法。

深度优先搜索

所谓的深度优先搜索，指的是在搜索时，如果遇到一个结点既有子结点，又有兄弟结点，那么先找子结点，然后找兄弟结点。

很明显，在由于边是没有方向的，所以，如果4和5顶点相连，那么4会出现在5的相邻链表中，5也会出现在4的相邻链表中，那么为了不对顶点进行重复搜索，应该要有相应的标记来表示当前顶点有没有搜索过，可以使用一个布尔类型的数组boolean[V] marked，索引代表顶点，值代表当前顶点是否已经搜索，如果已经搜索，标记为true，如果没有搜索，标记为false。

API设计

类名

DepthFirstSearch

构造方法

DepthFirstSearch(Graph g, int s)：构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中s顶点的所有相通顶点

成员方法

private void dfs(Graph g, int v)：使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相通顶点

public boolean marked(int w)：判断w顶点与s顶点是否相通

public int count()：获取与顶点s相通的所有顶点的总数

成员变量

private boolean[] marked：索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索 private int count：记录有多少个顶点与s顶点相通

代码实现

public class DepthFirstSearch {    /**     * 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索     */    private final boolean[] marked;    /**     * 记录有多少个顶点与s顶点相通     */    private int count;    /**     * 构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中s顶点的所有相通顶点     */    public DepthFirstSearch(Graph g, int s) {        this.marked = new boolean[g.v()];        this.count = 0;        // 搜索G图中与顶点s相同的所有顶点        dfs(g, s);    }    /**     * 使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相通顶点     */    private void dfs(Graph g, int v) {        // 把v顶点标识为已搜索        marked[v] = true;        // 遍历v顶点的邻接表，得到每一个顶点w        for (var item : g.adj(v)) {            // 如果当前顶点w没有被搜索过，则递归搜索与w顶点相通的其他顶点            if (!marked[item]) {                dfs(g, item);            }        }        // 相通的顶点数量+1        count++;    }    /**     * 判断w顶点与s顶点是否相通     */    public boolean marked(int w) {        return marked[w];    }    /**     * 获取与顶点s相通的所有顶点的总数     */    public int count() {        return count;    }}

测试代码

class DepthFirstSearchTest {    @Test    void test() {        // 准备图        var graph = new Graph(13);        graph.addEdge(0, 5);        graph.addEdge(0, 1);        graph.addEdge(0, 2);        graph.addEdge(0, 6);        graph.addEdge(5, 3);        graph.addEdge(5, 4);        graph.addEdge(3, 4);        graph.addEdge(4, 6);        graph.addEdge(7, 8);        graph.addEdge(9, 11);        graph.addEdge(9, 10);        graph.addEdge(9, 12);        graph.addEdge(11, 12);        var depthFirstSearch = new DepthFirstSearch(graph, 0);        // 测试与某个顶点相通的数量        assertEquals(7, depthFirstSearch.count());        // 顶点5与顶点0是否相通        assertTrue(depthFirstSearch.marked(5));        // 顶点7与顶点0是否相通        assertFalse(depthFirstSearch.marked(7));    }}

所谓的广度优先搜索，指的是在搜索时，如果遇到一个结点既有子结点，又有兄弟结点，那么先找兄弟结点，然后找子结点。

API设计

类名

BreadthFirstSearch

构造方法

BreadthFirstSearch(Graph g, int s)：构造广度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中s顶点的所有相通顶点

成员方法

private void bfs(Graph g, int v)：使用广度优先搜索找出G图中v顶点的所有相通顶点

public boolean marked(int w)：判断w顶点与s顶点是否相通

public int count()：获取与顶点s相通的所有顶点的总数

成员变量

private boolean[] marked：索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索 private int count：记录有多少个顶点与s顶点相通

private Queue<Integer> waitSearch：用来存储待搜索邻接表的点

代码实现

public class BreadthFirstSearch {    /**     * 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索     */    private final boolean[] marked;    /**     * 记录有多少个顶点与s顶点相通     */    private int count;    /**     * 用来存储待搜索邻接表的点     */    private final Queue<Integer> waitSearch;    /**     * 构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中s顶点的所有相通顶点     */    public BreadthFirstSearch(Graph g, int s) {        this.marked = new boolean[g.v()];        this.count = 0;        this.waitSearch = new Queue<>();        // 搜索G图中与顶点s相同的所有顶点        bfs(g, s);    }    /**     * 使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相通顶点     */    private void bfs(Graph g, int v) {        // 把v顶点标识为已搜索        marked[v] = true;        // 让顶点v进入待搜索队列        waitSearch.push(v);        // 使用while循环从队列中拿出待搜索的顶点wait，进行搜索邻接表        while (!waitSearch.isEmpty()) {            var wait = waitSearch.pop();            // 遍历wait顶点的邻接表，得到每一个顶点w            for (var item : g.adj(wait)) {                // 如果当前顶点w没有被搜索过，则递归搜索与w顶点相通的其他顶点                if (!marked[item]) {                    bfs(g, item);                }            }        }        // 相通的顶点数量+1        count++;    }    /**     * 判断w顶点与s顶点是否相通     */    public boolean marked(int w) {        return marked[w];    }    /**     * 获取与顶点s相通的所有顶点的总数     */    public int count() {        return count;    }}

测试代码

class BreadthFirstSearchTest {    @Test    void test() {        // 准备图        var graph = new Graph(13);        graph.addEdge(0, 5);        graph.addEdge(0, 1);        graph.addEdge(0, 2);        graph.addEdge(0, 6);        graph.addEdge(5, 3);        graph.addEdge(5, 4);        graph.addEdge(3, 4);        graph.addEdge(4, 6);        graph.addEdge(7, 8);        graph.addEdge(9, 11);        graph.addEdge(9, 10);        graph.addEdge(9, 12);        graph.addEdge(11, 12);        var breadthFirstSearch = new BreadthFirstSearch(graph, 0);        // 测试与某个顶点相通的数量        assertEquals(7, breadthFirstSearch.count());        // 顶点5与顶点0是否相通        assertTrue(breadthFirstSearch.marked(5));        // 顶点7与顶点0是否相通        assertFalse(breadthFirstSearch.marked(7));    }}

在上一篇并查集中，我们用并查集实现了畅通工程，并查集可以帮助我们快速计算还需要建设多少条道路。

使用图，我们可以快速计算出城市与城市是否相通。

某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可）。目前的道路状况，9号城市和10号城市是否相通？9号城市和8号城市是否相通？

新建一个traffic_project.txt文件，内容如下：

2070 16 93 85 112 126 104 8

它就是诚征道路统计表，下面是对数据的解释：

总共有20个城市，目前已经修改好了7条道路，问9号城市和10号城市是否相通？9号城市和8号城市是否相通？

解题思路

创建一个图Graph对象，表示城市； 分别调用addEdge(0, 1)，addEdge(6, 9)，addEdge(3, 8)，addEdge(5, 11)，addEdge(2, 12)，addEdge(6, 10)，addEdge(4, 8)，表示已经修建好的道路把对应的城市连接起来；

通过Graph对象和顶点9，构建DepthFirstSearch对象或BreadthFirstSearch对象； 调用搜索对象的marked(10)方法和marked(8)方法，即可得到9和城市与10号城市以及9号城市与8号城市是否相通。

代码实现

/** * 案例-畅通工程 */@Testvoid trafficProject() throws IOException {    var br = new BufferedReader(new InputStreamReader(BreadthFirstSearchTest.class.getClassLoader().getResourceAsStream("traffic_project.txt")));    // 读取第一行数据    var totalNumber = Integer.parseInt(br.readLine());    // 读取城市数目，初始化Graph图    var graph = new Graph(totalNumber);    // 读取第二行数据    var roadNumber = Integer.parseInt(br.readLine());    for (int i = 0; i < roadNumber; i++) {        var line = br.readLine();        var arr = line.split(" ");        var p1 = Integer.parseInt(arr[0]);        var p2 = Integer.parseInt(arr[1]);        // 循环读取已经修建好的道路，并调用addEdge方法        graph.addEdge(p1, p2);    }    // 根据图G和顶点9构建图的搜索对象    var breadthFirstSearch = new BreadthFirstSearch(graph, 9);    // 调用搜索对象的marked(10)方法和marked(8)方法    var marked10 = breadthFirstSearch.marked(10);    var marked8 = breadthFirstSearch.marked(8);    // 9号城市和10号城市是否已相通：true    LOGGER.info("9号城市和10号城市是否已相通：{}", marked10);    // 9号城市和8号城市是否已相通：false    LOGGER.info("9号城市和8号城市是否已相通：{}", marked8);}

测试结果：

9号城市和10号城市是否已相通：true9号城市和8号城市是否已相通：false

在实际生活中，地图是我们经常使用的一种工具，通常我们会用它进行导航，输入一个出发城市，输入一个目的地城市，就可以把路线规划好，而在规划好的这个路线上，会路过很多中间的城市。

这类问题翻译成专业问题就是：从s顶点到v顶点是否存在一条路径？如果存在，请找出这条路径。

API设计

类名

DepthFirstPaths

构造方法

DepthFirstPaths(Graph g, int s)：构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中起点为s的所有路径

成员方法

private void dfs(Graph g, int v)：使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相邻顶点

public boolean hasPathTo(int v)：判断v顶点与s顶点是否存在路径

public Stack pathTo(int v)：找出从起点s到顶点v的路径（就是该路径经过的顶点）

成员变量

private boolean[] marked：索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索 private int s：起点

private int[] edgeTo：索引代表顶点，值代表从起点s到当前顶点路径上的最后一个顶点

代码实现

我们实现路径查找，最基本的操作还是得遍历并搜索图，所以，我们的实现暂且基于深度优先搜索来完成。其搜索的过程是比较简单的。我们添加了edgeTo[]整型数组，这个整型数组会记录从每个顶点回到起点s的路径。

如果我们把顶点设定为0，那么它的搜索可以表示为下图：

根据最终edgeTo的结果，我们很容易能够找到从起点0到任意顶点的路径。

public class DepthFirstPaths {    /**     * 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索     */    private final boolean[] marked;    /**     * 起点     */    private int s;    /**     * 索引代表顶点，值代表从起点s到当前顶点路径上的最后一个顶点     */    private final int[] edgeTo;    /**     * 构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中起点为s的所有路径     */    public DepthFirstPaths(Graph g, int s) {        // 创建一个和图的顶点数一样大小的布尔数组        this.marked = new boolean[g.v()];        // 创建一个和图顶点数一样大小的整型数组        this.edgeTo = new int[g.v()];        // 初始化顶点        this.s = s;        // 搜索G图中起点为s的所有路径        dfs(g, s);    }    /**     * 使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相邻顶点     */    private void dfs(Graph g, int v) {        // 把当前顶点标记为已搜索        marked[v] = true;        // 遍历v顶点的邻接表，得到每一个顶点w        for (var w : g.adj(v)) {            // 如果当前顶点w没有被搜索过，则将edgeTo[w]设置为v,表示w的前一个顶点为v，并递归搜索与w顶点相通的其他顶点            if (!marked[w]) {                // 到达顶点w的路径上的最后一个顶点是v                edgeTo[w] = v;                dfs(g, v);            }        }    }    /**     * 判断v顶点与s顶点是否存在路径     */    public boolean hasPathTo(int v) {        return marked[v];    }    /**     * 找出从起点s到顶点v的路径（就是该路径经过的顶点）     */    public Stack<Integer> pathTo(int v) {        if (!hasPathTo(v)) {            return null;        }        // 创建路径中经过的顶点的容器        var path = new Stack<Integer>();        // 通过循环，从顶点v开始，一直往前找，直到起点为止        for (var x = v; x != s; x = edgeTo[x]) {            path.push(x);        }        path.push(s);        return path;    }}

测试代码

class DepthFirstPathsTest {    @Test    void test() throws IOException {        var br = new BufferedReader(new InputStreamReader(DepthFirstPathsTest.class.getClassLoader().getResourceAsStream("road_find.txt")));        // 读取城市数目，初始化Graph图        var graph = new Graph(Integer.parseInt(br.readLine()));        // 读取城市的连通道路        var roadNumber = Integer.parseInt(br.readLine());        // 循环读取道路，并调用addEdge方法        for (var i = 0; i < roadNumber; i++) {            var arr = br.readLine().split(" ");            var p = Integer.parseInt(arr[0]);            var q = Integer.parseInt(arr[1]);            graph.addEdge(p, q);        }        // 根据图G和顶点0路径查找对象        var depthFirstPaths = new DepthFirstPaths(graph, 0);        // 调用查找对象的pathTo(4)方法得到路径        var path4 = depthFirstPaths.pathTo(4);        var sb = new StringBuilder();        for (var item : path4) {            sb.append(item).append("-");        }        sb.deleteCharAt(sb.length() - 1);        System.out.println("顶点0到顶点4的路径是：" + sb);    }}

测试结果：顶点0到顶点4的路径是：0-2-3-4