信息，就是出人意料，而出人意料其实讲的是概率。

——坤鹏论

从今天开始，坤鹏论将进入到阶段性的思考整理。

脉络将是从信息熵，到熵，再到复杂性科学，一直回到这个系列的起点塔勒布的《反脆弱》。

一、这是一个概率的世界

随着不断地学习与思考，坤鹏论越来越感觉到，香农的信息熵与热力学的熵，基本就是一回事。

热力学的熵，还有后来由其派生出来的麦克斯韦妖，其最重要的贡献以及开创是：

由概率到统计，再到脱离成为普适的自然规律，信息熵亦然。

写到这里，坤鹏论突然有些顿悟——这所有的一切皆因为我们的世界、我们的宇宙完全是在概率统治之下。

那么，这个世界的最强法则应该是概率。

我们常说，除了死亡，一切皆有概率！

但是，如果不以肉体消灭为标准，而是从基因和遗传信息的角度看（想想之前坤鹏论举过的柳絮的例子），那真的是一切都有着概率。

既然如此，只要牢牢把握住概率这条真理，从它出发，坚定地前行，都能够获得不菲的成就。

那么——

不管是熵；

还是信息熵；

亦或者复杂性科学、复杂性系统；

其实都不过是概率下的蛋！

所以，不是它们牛，不是它们是自然规律。

而是它们摸到了支撑这个世界背后的真理——概率。

尽管都只能算是一方面，一点点。

并且，但凡能够理解概率，并应用到实践，都是很牛的事和很牛的人。

比如：保险、赌博、金融、投资等。

比如：巴菲特、索罗斯等投资大师，他们成功的关键就在于——风险的管理。

而概率就是风险的数学语言。

所有投资，不管是价值投资，还是投机。

只要是投入今天的钱购买未来，哪怕未来就是下一秒，都会有概率，都有风险。

所以，这种行为应该统一称为风险投资，或者概率投资。

而以概率为灵魂的学科则可以被视为人类探究概率的工具，比如：统计学。

统计力学也是，信息论也是。

没有概率，它们都不可能存在！

二、无序？不确定性？其实都是概率

正如上面所说，概率才是这个世界至高的规律。

所以，只有从概率的角度去理解熵、信息熵，才能算是本质级的理解。

下面，坤鹏论就以信息熵为例说明一下。

香农用熵度量的是不确定性。

而维纳则用熵度量无序程度。

如果站在概率的高度，就知道它们从根本上就是一回事。

一段文字的内在有序性越强，其可预测性也就越高。

换用香农的话来说，也就是后续字母所传递的信息量越少。

如果你对下一个字母是什么，信心十足，那么这个字母就是冗余的，它的出现没有贡献新的信息。

信息，就是出人意料！

而出人意料其实讲的是概率。

比如：在英语中，如果紧跟在字母t之后的是字母h，那么信息量就不大，因为字母h在此出现的概率相对较高。

而不管是维纳的无序度，还是香农的不确定性度，但它们都叫熵，这已经证明了，它们和热力学的混乱程度是一个意思。

我们再来重温理解一下，为什么熵越大混乱程度越大？

什么时候热力系统中没有熵呢？

就是只有一种微观态的时候。

这时的概率是1，其他微观态的概率为0，这就是完全的有序，没有混乱度。

那什么时候系统中熵最大？

自然是所有微观态的概率相等的时候。

这时，系统对于取什么微观态没有偏向性，所以混乱度最大。

接着，我们再理解，为什么熵越大，信息量越大？

因为熵越大，系统承载信息的能力越大。

道理很简单！

所有微观态等概率出现时，也就是系统中存在着所有微观态。

将微观态直接视为信息，想想看，明白了吗？

而一个熵为0的系统只能取一个微观态，自然承载不了任何信息。

因为，信息是消除不确定性的东西，一个微观态自然就没有不确定性，自然就能闭着眼选择，根本不用”还能说什么“，自然也就没有信息了，也就没了”还能说多少“——信息量。

然后，我们再理解，为什么信息熵中，语言越”混乱“，信息量越大？

这最好从语言的上下文关联度来分析。

英文单词中的字母相关度很高，比如：ing、tion，以及各种前缀后缀。

因为相关度大，所以就算从ing、tion中拿掉一个字母，也完全不会影响阅读。

显然说明了这些组合中单个字母提供的信息量很小。

而中文的上下文关联度低很多，所以，单个汉字信息量大。

由此，结论就是：

上下文关联度越高，也可以理解为符号系统越有序，不确定性程度越低；

上下文关联度越低，也可以理解为符号系统越无序，不确定性程度越高。

因此，将信息的不确定性用熵来命名再恰当不过，它和统计力学中的熵，就是同一个问题——概率。

还记得坤鹏论在复杂性科学中讲过的混沌边缘吗？

那是一种最好的系统状态。

琢磨一下，有没有发现语言其实也符合混沌边缘的道理。

简单联想一下就能明白。

假设一群人开会，人们越是意见不一致，越是混乱，人们越希望表现自己的意见，于是大量信息会不断产生。

而往往正是这样的会议才证明了公司的活力四射。

最可怕的会议是，只有有序，没有混乱。

也就是只有领导滔滔不绝，其他人全都默不作声。

所以，复杂性系统同样也是概率的问题。

这可能就是传说中的融会贯通，大道至简，殊途同归吧！

三、麦克斯韦妖

坤鹏论曾经讲过《人类就是麦克斯韦妖》。

在这个著名的思想实验中，麦克斯韦妖在密闭容器中所做的只是控制闸门。

它如何控制闸门？

分子过来时，它会根据它运动的速度和轨迹，判断是快分子，还是慢分子，从而选择是否开闸门。

而分子运动的速度和轨迹，就是信息。

也就是说，麦克斯韦妖根据获得的信息作出选择。

它每处理一个分子，都是做了一次信息与能量的转换。

提出这个观点的齐拉特的贡献非常伟大，因为自此之后，信息也是物理的了。

正如布里渊所论述的，麦克斯韦妖要看得清楚分子，不可能摸黑进行，必须要有灯光照在分子之上，光被分子散射，而被散射的光子被麦克斯韦妖的眼睛吸收，这样它才会看清。

这意味着，麦克斯韦妖不做功，要使系统熵减少，必须获得信息，这需要通过（眼睛）吸收外界能量实现。

因此，麦克斯韦妖这个思想实验的先决条件——密闭被打破了。

自此容器不再密闭，而是可以接收外部能量。

也只有这样，麦克斯韦妖才能干活。

我们可以这样设想修改版的麦克斯韦妖：

外部注入能量，使得麦克斯韦妖看得清分子，从而获得它们的运行速度和轨迹信息，根据信息，麦克斯韦妖做出是否开闸门的选择。

这是一个能量转换为信息，信息再转换为能量的过程。

有了上面这个基础，我们再来看香农的信息论和信息传输模型。

你会发现其实就是麦克斯韦妖实验的现实翻版。

容器：所有可能讯息组成的集合

分子：字符

麦克斯韦妖：信宿，接收者

外部能量：信源

麦克斯韦妖的功能是在获得分子运动的信息后，通过操作闸门做出选择，分离快分子和慢分子，从而减少系统的熵。

一个信息集合的接收者同样也是在接收到信源的讯息后，做出选择，减少信息集合的信息熵（不确定性）。

并且，不管是麦克斯韦妖还是接收者，他们都很单纯地做着是或否的二元选择题。

麦克斯韦妖只关心是快还是慢。

接收者只关心不确定性和确定性。

四、接收者＝麦克斯韦妖

自从香农提出信息论后，他迅速成为了学术圈内的当红人物，享有偶像级的声望。

有时，他还会到大学和博物馆就“信息”进行通俗的演讲。

在这些演讲中，他曾引用过《新约·马太福音》第5章第37节的话：

“你们的话，是，就说是；不是，就说不是；若再多说，就是出于那恶者。”

这就牵扯出了信息熵另一个定义，它是通过只允许回答是或否的问题，来猜出一条未知信息时所需问问题的平均数目。

坤鹏论认为这个讲成实例，很容易让人理解信息熵是怎么一回事，那就不厌其烦地分享给大家，希望大家也不厌我烦地读一读。

假设你是麦克斯韦妖，如果分子是一快一慢成对过来，表面上看不出区别。

那么，你需要提几个问题可以知道它们的状态呢？

对的，只需要一个问题。

你可以问：“A是快（慢）分子吗？”；

或者问：”B是快（慢）分子吗？“

如果对面一下子来了A、B、C、D四个一模一样的分子，其中只有一个是快分子，你需要提几个问题来确定它？

有人可能会下意识地说，4个！

惯性思维害人呀。

明智的提问方法是二分法。

你可以先问：A和B中有一个是快分子，对吗？

分子回答说：是。

你可以接着问，快分子是不是A（或B）？

分子回答说：否。

那你就知道答案肯定是B。

整个过程，一共2个问题。

如果答案不是A，也不是B。

答案自然就在C和D中间，你只需要再问：快分子是不是C？

分子回答说：否。

你自然就知道正确答案是D了。

还是提两个问题搞定。

也就是，如果4选1，你平均需要提两个问题能够得到确定答案。

显然，你提问题的过程，就是在消除自己对分子的不确定性。

香农将对于分子的不确定性称为信息熵。

为了衡量信息熵，香农建立起了它与概率的数学关系，也就是从不确定性到确定性，需要提出问题的平均数量。

因此，上面的例子中，两个等概率的分子，提一个问题知道答案，信息熵就是1比特，四个等概率的分子，提两个问题知道答案，信息熵就是2比特。

坤鹏论以此为例，换个角度再讲一遍信息熵，其目的是，回到初心，回到热力学的熵，回到熵与信息发生关系的麦克斯韦妖，最终回到概率！

本文由“坤鹏论”原创，转载请保留本信息

请您关注本头条号，坤鹏论自2016年初成立至今，创始人为封立鹏、滕大鹏，是包括今日头条、雪球、搜狐、网易、新浪等多家著名网站或自媒体平台的特约专家或特约专栏作者，目前已累计发表原创文章与问答6000余篇，文章传播被转载量超过800余万次，文章总阅读量近20亿。