在平面直角坐标系中，将二次函数图象进行平移，求平移以后的二次函数的解析式，或者已知平移之后的二次函数解析式求平移之前的二次函数解析式，是学生学习中的一个难点，但也是一个充满乐趣，值得探究的知识点．

二次函数图象的平移包括上下平移和左右平移．图象的上下平移符合学生直觉，而图象的左右平移恰巧是反直觉的，图象上下平移和左右平移之间的不一致，往往是造成学生理解平移的困难，研究表明，学生理解二次函数左右平移的困难要大于上下平移，上下平移的动作是直接操作在函数上，而

左右平移包含的动作首先操作在自变量上，进而再操作到函数上，这是产生困难的原因．无论是哪种平移，都可以用求解析式的方式来解，而且二次函数的平移是可逆的，解题时主要是要理解二次函数平移的整个过程和思路现分类举例说明如下：

一、三点法

从最直观的角度——三点可以确定一条抛物线，那么就找一条抛物线上的任三点，再找这三点平移之后的对应点坐标，根据待定系数法求解二次函数的解析式．

例1 将抛物线y＝－x2－2x＋4向右平移3个单位，求平移后的函数解析式．

解 在抛物线y＝x2－2x＋4上任取三个点A(1，1)，B（2，－4），C(－1，5)，

把点A、B、C分别向右平移3个单位后得

A'(4，1)，B'(5，－4)，C'(2，5)

设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，

​∵A'(4，1)，B'（5，－4），C'(2，5)在y＝ax

2＋bx＋c上．

​∴

∴平移后的函数解析式为

​ ​y＝－x2＋4x＋1．

​二、顶点法

​抛物线平移前后形状相同，位置不同，那么它们的二次项系数是相等的，即知道二次函数解析式中的a，再求出原抛物线的顶点，找出平移以后的顶点，根据待定系数法求解二次函数的解析式．

例2 将抛物线y＝－x2－2x＋4向左平移2个单位，求平移后的函数解析式．

解 设平移后的函数解析式为

​y＝－（x－h）2＋k．

∵ y＝－x2－2x＋4

＝－（x＋1）2＋5，

∴y＝－x2－2x＋4的顶点坐标是A（－1，5)．

∴A（－1，5）向左平移2个单位后得到A'(－3，5)，

∴h＝－3，k＝5．

∴平移后的函数解析式为

y＝－（x＋3）2＋5，

即y＝－x2－6x－4

三、交点法

图象分析也是一种颇有意思的解题过程，学生觉得函数图象的平移

就要巧妙地利用图象上的一些特殊点，只要找到函数与坐标轴的交点，把合适的坐标轴上点进行平移，通过左右平移找x轴上的点，上下平移找y轴上的点，将x轴上的点左右平移后，或将y轴上的点上下平移后，代入a相同的二次函数解析式求解即可．

例3 将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移4个单位，求平移后的函数解析式．

​解 设平移后的函数解析式为

y＝－（x－x1）（x－x2）．

抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的交点为A(－3，0)，B(1，0)．

∵A（－3，0），B(1，0)向右平移4个单位后得到A'(1，0)，B'(5，0)，

∴x1＝1，x2＝5，

∴y＝－(x－1)(x－5)，

即y＝－x2＋6x－5

例4 将抛物线y＝－x2－2x＋3向下平移4个单位，求平移后的函数解析式．

解 设平移后的函数解析式为

​y＝ax2＋bx＋c．

将抛物线y＝－x2－2x＋3向下平移，则其形状大小，对称轴不变，故平移后的函数解析式的a和b值不变，

∴a＝－1，b＝－2．

又抛物线y＝－x2－2x＋3与y轴交点为A(0，3)，

而A(0，3)向下平移4个单位后得到A'（0，－1），

∴c＝－1．

∴平移后的函数解折式为

​y＝－x2－2x－1．

四、图象法

从函数图象平移前后点的变化特征出发，可理解为：将函数向右平移时，函数中的x值会变大，而相应的y值不变，那么就要把因为移动而多的单位数减去（向左平移x值减少就要把少的单位数加上），函数值不变

例5 将抛物线y＝－x2－2x＋4向右平移3个单位，求平移后的函数解析式．

​解 抛物线向右平移3个单位时，函数中的x值会增大3个单位，而相应的y值不变，那么就要把x的值减去因为移动而多的3个单位数．故平移后的函数解析式为

y＝－（x－3）2－2（x－3）＋4，

即y＝－x2＋4x＋1．

对于将二次函数向上平移的情况就是函数的y值会增加，而自变量x值不变，那么就要将函数值y减去移动的单位数（向下平移y值减少就要把少的单位数加上），而等式右边不变．

例6 将抛物线y＝－x2－2x＋4向上平移3个单位，求平移后的函数解析式．

解 抛物线向上平移3个单位时，函数的y值会增加3个单位，而自变量x值不变，那么就要将函数值y减去因为移动而多的3个单位数，故平移后的函数解析式为

​y－3＝－x2－2x＋4，

即y＝－x2－2x＋7．

将平移前后的二次函数解析式进行比较，可以得到常用的函数平移口诀：“左加右减，上加下减；左右平移在括号内，上下平移在括号外．”

​例7 将抛物线y＝0.5x2－4x＋3先向左平移5个单位，再向上平移6个单位，求平移后函数解析式．

解 抛物线向左平移5个单位时，函数中的x值会减少5个单位，而相应的y值不变，那么就要把x的值加上因为移动而少的5个单位数．

抛物线向上平移6个单位时，函数的y值会增加6个单位，而自变量x值不变，那么就要将函数值y减去因为移动而多的6个单位数．

​y－6＝0.5(x＋5)2－4(x＋5)＋3，

​化简得y＝0.5x2＋x＋1.5

例8 抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位得到y＝－2x2＋20x－52，求平移前函数解析式．

解 根据二次函数的平移是可逆的，则 平移前函数解析式是

y－2＝－2(x＋3)2＋20(x＋3)－52，

化简得y＝－2x2＋8x－8．

数学的学习需要对知识获得的过程有完整的体验，才能很好地理解每个知识点，新的知识点的学习和掌握要从已有的知识出发，合理推导，才能学得轻松，收获良多，虽然二次函数图象平移问题是可以直接利用口诀解题的，但是必须要记忆的东西那么多，再加上点的平移、一次函数的平移与二次函数的平移概念非常接近，容易混淆，对学生来说实在是有点强人所难，如果我们能在理解的基础上，自已去探究和讨论，就能体会其中的乐趣和奥秘！