4.1 正弦信号与相量

本章开始研究在含有R、L、C等元件的电路中，当输入信号为正弦交流电压或电流，且电路达到稳态时（即电路的响应也仅为正弦量）的分析方法。

4.1.1 正弦信号

正弦信号是最基本的周期信号，它是任何其他周期信号或非周期信号的基本元素。为了便于对电路做正弦稳态（sinusoidal steady state）分析，这里首先重温正弦信号的基本概念。

按正弦规律变化的电压或电流称为正弦交流电。如图 4-2 所示，以 ωt 为横坐标的正弦交流电压 u （ t ），其函数表达式为

图 4-2 正弦波

[1] 中， U m 称为该电压的振幅， ω 称为正弦量的角频率，（ ωt + θ ）称为相位， t =0 时的相位 θ 称为初相位，简称初相。通常，最大值 U m 、角频率 ω 和初相位 θ 称为正弦量的三要素。只要知道了正弦函数的这三个要素，就可以立即确定它的解析表达式。角频率 ω 是衡量交流电变化快慢的物理量。由于正弦信号每重复一次要变化 2π 弧度，所以角频率 ω、 频率 f 和周期 T 之间的关系为

f =1 /T

ω =2π f =2π /T

式中， ω 的单位为弧度 / 秒，记为 rad/s。频率 f 的单位为赫 [兹]，记为 Hz。

初相的概念非常重要，有必要做进一步的说明。由式（4-1）可知，初相角 θ 决定了正弦量在 t =0 时电压初始值的大小，即 u （0）= U m sin θ 。在图形上，当以 ωt 为横坐标时，初相就是正弦曲线零值点与 t =0 点间的弧度数。不过，正弦信号是一个以 2π 为周期的函数，其零值点很多，究竟选哪一个作为计算初相的标准呢？通常规定：当正弦曲线从负变正时经过的那个零点到坐标原点间的弧度数 θ 满足 | θ |≤π 时，称此 θ 为初相位（主值范围）。若满足上述规定的正弦零值点在 t =0 以左，则初相 θ ＞0；若零值点在 t =0 以右，则初相 θ ＜0。

若有两个同频率的正弦电流

i 1 （ t ）= I m1 sin（ ωt + θ 1 ） i 2 （ t ）= I m2 sin（ ωt + θ 2 ）

当初相 θ 1 ＞ θ 2 时， i 1 称为超前于 i 2 ；当 θ 1 = θ 2 时，称 i 1 和 i 2 同相；当 θ 1 - θ 2 =π 时，称 i 1 和 i 2 反相。图 4-3 为这三种情况的示意图。

图 4-3 正弦电流的相位比较

任意两个同频率的正弦交流信号，例如上述 i 1 （ t ）、 i 2 （ t ），它们的相位差为

（ ωt + θ 1 ）-（ ωt + θ 2 ）= θ 1 - θ 2

即为它们的初相之差。相位差用 φ 表示。

顺便指出，有的书中使用余弦函数表示正弦电流或电压，但本质是一样的，因为

所以不论使用正弦或余弦，仅有 π/2 的初相差别。不过当比较两个正弦信号的相位差时，必须化为同种函数。此外，正弦函数的初相角单位为弧度，但习惯上经常写为度，这虽然不太严格，但在分析问题时较为方便、直观。例如

也可以写为

u （ t ）=10sin（314 t +45°）V

正弦函数的微分和积分仍然是同频率的正弦函数，而两个同频率的正弦函数的和或差，其结果也是同频率的正弦函数。例如

则两者之和

i 1 =10sin（ ωt ）A i 2 =10sin（ ωt -60 ° ）A

i 1 + i 2 =10[sin（ ωt ）+sin（ ωt -60°）]A

由三角公式

所以

i 1 + i 2 =10 3 sin（ ωt -30°）A

这就是说，两同频率的正弦量之和频率不变，仅改变了振幅和初相。

交流电的有效值（effective value）。

设有正弦电流为

i （ t ）= I m sin ωt

它在电阻 R 上消耗的瞬时功率为

即

上式等号右边第一项恒定，后一项的平均值为零。所以在电阻上消耗的平均功率为

而直流电流 I 在 R 上消耗的功率为 I 2 R 。令以上二者功率相等，则有

即有

有效值为

类似地，正弦电压的有效值为

4.1.2 相量的概念

1. 复数

设一个复数 A = a +j b， 其中 a、b 都是实数， a 为复数的实部， b 为复数的虚部，

为虚数单位（虚数单位在数学中用 i 表示，因电工学中用 i 表示电流，故改用 j 以示区别）。

取笛卡儿坐标系（直角坐标系），其横轴称为实轴，用来表示复数的实部；纵轴称为虚轴，用来表示复数的虚部。这两个坐标轴所在平面称为复平面。复平面上的每一个点都对应唯一的一个复数，反之亦然。例如，3+j4 对应于图 4-4 中复平面上的 P 1 点，-3+j4 对应于 P 2 点。

图 4-4 复平面

复数还可以用复平面上的一个矢量来表示。如 A=3+j4 可以用一个从原点 O 到 P 1 点的矢量来表示。这种矢量称为复数矢量。任意一个复数 A 可对应一个复数矢量 OP， 如图 4-5 所示。矢量的长度定义为复数 A 的绝对值，称为复数的模。即

图 4-5 复平面中的矢量

|A|= a 2 + b 2

矢量与实轴正方向的夹角 θ 称为复数 A 的辐角。

因为

根据欧拉公式

e jθ =cosθ+jsinθ

式（4-6）又可以写为

复数的四则运算规则如下。

设

A= a 1 +j b 1 =|A| θ 1 B = a 2 +j b 2 =|B| θ 2

则 A± B =（ a 1 ± a 2 ）+j（ b 1 ± b 2 ）

此外，由于

得

由欧拉公式，又可得

这里，Re（·）和 Im（·）分别为取实部和取虚部的符号。

式中， I m 为 I · m 的模，则

在电路中，通常将电流的振幅（或有效值）与其初相角构成的复数称为电流相量。例如

i （ t ）=5sin（ ωt -30°）A

它所对应的相量为

但要注意，

，I· m 仅是i（t）的代表相量。

类似地，若有电压

u （ t ）=10sin（ ωt +50°）V

则其电压相量为

若用有效值作为相量的模，则有效值相量为

2. 用相量表示正弦量

设有时间 t 的复值函数，利用数学中的欧拉公式

正弦量用相量表示后，还可以用相量图来表示。

设电流和电压相量分别为（以有效值为模）

可在复数平面上分别画出它们的相量图，如图 4-6 所示。

图 4-6 相量图

4.2 储能元件4.2.1 电容元件

一个二端元件，如果在任一时刻 t， 它的电荷 q 与电压 u 的关系可以唯一地用 u - q 平面上的一条曲线所表征，即有代数关系

f （ u，q ）=0

则此二端元件称为电容元件。

1μF=10-6F 1pF=10-12F

图 4-9 电容元件及其特性曲线

若电容上电压与电流方向一致，考虑到

故有

式（4-10）表明，在任一时刻，电容电流与其电压的变化率成正比。对于直流电压，由于 d u /d t =0，故 i （ t ）=0，即电容元件对直流相当于开路。

若电容上电流 i （ t ）为已知，则在时刻 t， 由式（4-10），可得电容上积累的电压为

式（4-11）表明，某一时刻 t 电容上电压的值与 t 时刻以前电流的全部历史有关。即使 t 时刻电流为零，但电容上电压仍可能存在。这说明电容有记忆作用，因而常称电容为记忆元件。上式中以积分变量 x 区别于积分上限 t 。

若电容上 u 与 i 方向不一致（非关联），则有

再来看电容的储能情况。电容的记忆特性是它具有储存电场能量本领的反映。由于在 t 时刻电容的瞬时功率为

从而电容在 t 时刻的储能为

通常总是假定 t =-∞ 时电容上电压为零，从而

4.2.2 电感元件

一个二端元件，如果在任一时刻 t， 其电流 i （ t ）和磁通 Φ （ t ）的关系可以唯一地用 i - Φ 平面上的一条曲线所表征，即有代数关系

f （ i，Φ ）=0

则此二端元件称为电感元件。

1 mH=10-3H，1 μH=10-6H

图 4-11 所示为电感元件及其典型的特性曲线。如果电感元件的磁通为电流的线性函数，即

图 4-11 电感元件及其特性曲线

Φ （ t ）= Li （ t ）

对线性电感，因 Φ （ t ）= Li （ t ），故在 u、i 方向一致时，有

若电感上电压与电流方向为非关联参考方向，则关系如下

2. 电感的储能

电感的记忆特性是它储存磁场能量的反映。由于在 t 时刻电感的瞬时功率为

所以在任一时刻，电感的储能为

W L （ t ） = ∫ t -∞ p （ x ）d x

设 t =-∞ 时 i （-∞）=0，则与电容的推导相类似，可得

即电感在任一时刻的储能仅取决于该时刻的电流，而与 i （ t ）的历史无关。如果要确定从 t 0 到 t 期间储能的变化量，则

例 4-1 如图 4-12（a）所示，将电感接于电压源 u S （ t ）。 L =0.5H， i （0）=0，试求电感中的电流。

图 4-12 例 4-1 图

解 电压 u S （ t ）的表达式为

当 0≤ t ≤0.5s 时

当 t ＞0.5s 时

归纳起来为

其波形如图 4-12（c）所示。

4.3 电路的相量模型4.3.1 KCL 和 KVL 的相量表示

设流入某节点的复指数同频率电流为

必然有

即

两边同除以 e jωt ，得

或写为一般式

用类似的方法可以得到 KVL 的相量形式

4.3.2 基本元件的正弦稳态响应及相量模型

1. 电阻元件

设电阻 R 上的电压为 u = U m sin ωt， 则电流

其中电流振幅为

I m = U m /R

相应地，电压振幅为

而且 u 和 i 的相位变化是同相的，如图 4-21 所示。

图 4-21 电阻 R 中的电压与电流

若用相量表示 u 和 i， 有

则相量关系（VCR）为

若 u 和 i 的有效值用 U 和 I 表示，故数值关系为

于是又可用有效值相量表示电阻上的 VCR，即

上式表明，在电阻 R 上，若输入为

响应

则二者满足复数形式的欧姆定律。由于电压和电流相位同相，上式的数值关系可写为

这就是说，电阻 R 上的电压有效值等于电阻与电流有效值的乘积。当然振幅关系满足 U m = RI m ，而且电压与电流同相。

2. 电感元件

设电感 L 中有电流 i = I m sin ωt， 则其两端的电压为

u=ωLI m sin（ωt+90°）=U m sin（ωt+90°）

式中，电压振幅为

由上可知，电感 L 中电流 i 和电压 u 的相位差为 90°，即电压超前电流 90°，如图 4-22 所示。

图 4-22 电感 L 中的电压与电流

由式（4-23）可得

令

这里 x L 称为电感的感抗，其大小与频率成正比。

再考虑相量关系。设电流相量为

由于电感中电压超前于电流 90°，故其相量可表示为

即有

或者用有效值相量表示为

由上式可得如图 4-23（a）所示的电感的相量模型。考虑到 j=e j90° ，

所以上式可表示为

图 4-23 电感的相量模型及其相量图

因此式（4-26）包含两方面的内容，即电压、电流的大小关系和初相关系分别为

上述表明，电感上电压与电流的大小之间也满足欧姆定律，其中 ωL = X L 称为电感的感抗，单位为 Ω；电压的初相超前于电流的初相 90°。这是电感元件在正弦稳态时所出现的固有现象。

3. 电容元件

对于电容元件，当 u 和 i 方向一致时，有

设电压u=Umsinωt，则电容上电流为

即

式中

可知电流超前于电压 90°，如图 4-24 所示。

图 4-24 电容 C 中的电压与电流

由式（4-28）可得容抗为

若用有效值相量表示，由于电流超前电压 90°，故有

或

由此可知电容上电压与电流的大小关系和初相关系分别为

上式表明，电容元件上 U 与 I 也存在着欧姆定律关系，其中

称为电容的容抗，单位为 Ω；而电容上电流超前于电压 90°。图 4-25（a）、（b）分别为电容元件的相量模型及相量图。

图 4-25 电容的相量模型及电流、电压相量图

例 4-3 如图 4-27（a）所示 RC 并联电路，已知 R =1 kΩ， C =0.05μF，电源电压 U =10 V， ω =10 4 rad/s。试求总电流 I ·，并画出各电流相量图。

图 4-27 例 4-3 图

解 先画出相量模型电路如图 4-27（b）所示。设电源电压初相角为 0°，即有效值相量为

由图 4-27（b）所示相量电路通过 R 的电流为

电容中的电流为

由 KCL，总电流的相量

从而得到

图 4-28 相量法求解正弦交流电路的过程

4.4 阻抗与导纳4.4.1 阻抗

在基本元件的相量模型中，其共同特点都是以端口上的电压和电流相量来表示的，如 R、L、C 元件，有简单的代数形式，即有电压有效值相量和电流有效值相量关系：

对电阻 R：

对电感 L：

对电容 C：

以上可以用统一的相量形式表示为

式中， Z 称为元件的阻抗（impedance），一般为复数，单位为欧 [姆]（Ω）。式（4-32）称为欧姆定律的相量形式。对单个理想元件来说，它们是

R 的阻抗：Z R =R

L 的阻抗：Z L =jωL=jX L

C 的阻抗：

根据相量形式的欧姆定律，可以分别画出三种元件对应的电路相量模型，如图 4-30 所示。

图 4-30 R、L、C 元件的相量模型

一般而言，设一不含独立电源的二端网络 N，在正弦稳态下，其端口电压和电流分别用相量

表示，并设参考方向关联，则该二端网络的阻抗Z定义为

阻抗 Z 就是二端网络的等效阻抗，如图 4-31 所示。

图 4-31 阻抗定义示意图

图 4-32 阻抗的串联

即

或者

它为该电路的总阻抗。该阻抗又可写为

Z=R+jX 称为阻抗的一般形式。其中 R 为阻抗的电阻分量（resistive component），X= 为阻抗的电抗分量（reactive component）。

阻抗又可以表示为

式中

| Z | 称为阻抗 Z 的模或绝对值， φ 称为阻抗 Z 的阻抗角。反过来，又有

R =| Z |cos φ

X =| Z |sin φ

另一方面，由于

与式（4-35）相比较，有

例 4-4 如图 4-32 所示电路，设 R =10 Ω， L =1 H， C =0.005F， u S （ t ）=100 2 sin（20 t ）V，试求电流 i、u C 、 u R 和 u L 。

解 根据已知，首先求出相量模型电路中的各量：

总阻抗

Z=Z R +Z L +Z C =（10+j20-j10）Ω=（10+j10）Ω

故电流

进而得

最后有（注意将有效值变为振幅）

各电压的相量关系如图 4-33 所示。

4.4.2 导纳

阻抗的倒数定义为导纳（admittance），用符号 Y 表示，即

对于基本元件 R、L 和 C 而言，它们在交流电路中所对应的导纳分别为

对图 4-34 所示的 RLC 并联电路，由 KCL 得

图 4-34 阻抗的并联

由于

故

这里 Y 称为电路的总导纳，它等于并联各元件导纳之和， G 为电导，

称为电纳。导纳的模与电流电压的关系为

关于阻抗与导纳有两点必须强调说明：

（1）若阻抗 Z = R +j X， 导纳 Y = G +j B， 但其中 R ≠1 /G，X ≠1 /B， 因为当 Z = R +j X 已知时，有

所以

（2）阻抗 Z 和导纳 Y 通常是频率的函数。因为 X L 与频率成正比， X C 与频率成反比，所以在一般阻抗中，电感和电容对不同频率的阻抗作用必然有所反映。例如，对于

当 X＜0，电路呈电容性；

当 X＞0，电路呈电感性；

当 =0，电路呈电阻性。

例 4-5 如图 4-35 所示电路，试求其电流 I · 和总阻抗。

图 4-35 例 4-5 图

解令

故电感支路电流为

电容支路电流为

总电流为

总阻抗为

4.5 相量分析的一般方法4.5.1 网孔分析法

图 4-40 为一正弦稳态电路的相量模型。

图 4-40 网孔分析示例

由于非公共支路有一电流源

故只需列两个网孔方程

化简为

由于

故有

从而解得

电容上电流

4.5.2 节点分析法

图 4-41 是一个 RC 振荡器的电路模型。若电路已产生稳定的正弦振荡，用节点法确定参数 A 和振荡角频率 ω 。图中 R =1Ω， C =1F。为用相量法分析，可先将各元件用阻抗代替，并设独立节点电压为

和

列出节点方程如下。

图 4-41 节点分析示例

代入数据整理得

该线性齐次方程组存在非零解的充要条件为其系数行列式等于零，即

展开可得

上式的实部和虚部应分别为零，即

解得

这就是说，当电路中放大量 A =29 时，可产生

的正弦振荡。若R、C任意，则

该结论在工程中非常有用。

4.5.3 戴维南等效法

在正弦稳态下，网络的各种定理都可以应用，如叠加定理、替代定理、戴维南定理等。这里重点介绍戴维南等效方法。

例 4-8 在测量技术中，交流电桥应用非常广泛。图 4-42（a）是交流电桥的原理电路。mV 为毫伏表，其内阻设为无穷大。求交流电桥的平衡条件。

图 4-42 例 4-8 图

解 要使电桥平衡，必须满足毫伏表两端的电压为零。利用戴维南定理，将毫伏表开路，则开路电压为

若令

则毫伏表中无电流，故电桥平衡条件为

Z 2 Z 3 - Z 1 Z 4 =0 或者 Z 2 Z 3 = Z 1 Z 4

平衡条件是一个复数方程，它实际上包含两个条件，即方程两边的实部和虚部分别相等。实测中，通常是一个支路接被测元件，其余三个支路接标准元件，需要仔细调节才能达到平衡。

图 4-42（b）是测量电容 C X 及其漏电阻 R X 的电桥。若设 C X 和 R X 的组合为 Z X ， R 4 和 C 4 的组合为 Z 4 ，电桥平衡时，应有

R 2 Z X =R 1 Z 4

即

具体为

解得

4.6 正弦稳态电路的功率4.6.1 平均功率

1. 电阻 R 的平均功率

在交流电路中，电流和电压都是随时间而变化的，所以功率也是随时间变化的。电阻 R 在任一瞬间吸收的功率称为瞬时功率。根据定义

p = ui

为了简便，设电流的初相角 θ =0，则电阻上电流、电压可写为

i = I m sinω t u = U m sinω t

它含有两部分，第一部分是常量，第二部分是两倍于电压频率的周期量。图 4-44 画出了瞬时功率随时间变化的曲线。由于 u 和 i 总是同方向的，故瞬时功率恒为正。它表明电阻总是吸收能量。

如果在一个周期内对瞬时功率取平均值，则称为平均功率或有功功率，用大写字母 P 表示，即

将式（4-43）代入上式，得

由于

U=RI，上式又可以写为

2. 电感 L 的平均功率

设电感中电流 i = I m sin ωt， 则电感上电压应超前电流 90°，即

u = U m sin（ ωt +90°）

所以电感元件上的瞬时功率

上式说明电感中的瞬时功率也是随时间变化的正弦函数，其频率为电源频率的两倍。它的平均功率

这就是说，纯电感元件是不吸收有功功率的。

电感元件上瞬时功率的最大值称为无功功率（reactive power），以 Q L 表示，

无功功率的单位为乏（var）。无功功率用来衡量电源与电感元件间能量交换的最大速率。

3. 电容 C 的平均功率

在正弦稳态下，设电容上的电压 u = U m sin ωt， 由于电容上的电流超前于电压 90°，所以

i = I m sin（ ωt +90°）

在电容元件上的瞬时功率

该瞬时功率的变化与电感的情形一样，它的平均功率

这说明电容元件也是不消耗电能的。

电容元件上瞬时功率的最大值称为电容的无功功率，以 Q C 表示。即

单位为乏（var）

4.6.2 复功率

设阻抗

其电压、电流的相量分别为

则乘积

定义为阻抗 Z 的复功率（complex power），用

表示，即

式中，

是

的共轭复数。上式的含义说明如下

式中

P 称为平均功率或有功功率（real power）， Q 称为无功功率。由于

这就是说，负载吸收的平均功率就是阻抗 Z 的电阻分量吸收的功率。而

也就是说，负载吸收的无功功率恰是阻抗 Z 的电抗分量吸收的功率。

由上可知，平均功率的最大值为 UI 。通常把这个最大值称为视在功率（apparent power）或功率容量，即

S = UI

视在功率的单位为伏安（V·A）。

小结

1. 电容元件和电感元件 u - i 关系分别为

所以电容对直流电压相当于开路；电感对直流电流相当于短路。

2. R、L、C 三元件的电压与电流相量关系见表 4-1。

表 4-1 R、L、C 元件的电压与电流相量关系

3. 阻抗为

其中阻抗的模和相角分别为

导纳为

4. 相量形式的欧姆定律、KCL 和 KVL 分别为

对于相量模型，分析电阻电路的各种方法，如分流、分压、网孔法、节点法、电路定理等均可以应用。

5. 在正弦稳态电路中，电容和电感不消耗功率，阻抗 Z 消耗的功率（平均功率，有功功率）为电阻分量消耗的功率。即

P=UIcos（θ u -θ i ）

当负载阻抗 Z L 与电源内阻抗为共轭复数时（共轭匹配），负载可获得最大功率，此时

式中， U S 为电源电压的有效值； R L 为负载阻抗的电阻分量。