在小学的数学课本上，我们就学习过下面这条性质：

如果一个整数各个位数之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除。

掌握了这一性质，我们就能轻松地判断216、1245、10432这些较大的数都能够被3整除。

那么对其他较小的整数来说，比如2、4、5、6、7、8、9、11，有没有类似的性质呢？

答案当然是有！具体的总结如下。

被2整除，则其个位数必须为偶数；

被4整除，则其最后两位数能够被4整除（因为100能够被4整除）；

被5整除，则其个位数是5或者0（因为10能够被5整除）；

被6整除，则该数既能够被2整除，又能够被3整除，即个位必须是偶数且各个位数之和能够被3整除。

被7整除，设该数为n位数，则其去掉个位后变成的新n-1位数减去个位数的2倍能够被7整除；

被8整除，则其最后三位数能够被8整除（因为1000能够整除8）；

被9整除：则其各个位数之和能够被9整除；

被11整除：则其奇数位数字之和减去偶数位数字之和能够被11整除。

下面来看一个具体的例子，我们想知道4893能否被7整除。我们来应用上面的规律，去掉个位再减去个位的2倍：

通过乘法口诀，我们知道42能够被7整除，因此可以得出4893可以被7整除。而且通过上面的推导过程，我们可以发现，推导规律是可以循环使用的，第一次应用规律之后得到483还是不容易判断，我们可以继续使用推导规律，直到可以判断为止。

我们再来看一个被11整除的例子，我们想知道697180能否被11整除，同样利用上面总结的规律，偶数位之和为6+7+8=21，奇数位之和为9+1+0=10，两者之差为11，因此697180能够被11整除（商为63380）。

我们不仅能够得出这样的规律，而且还能够给出证明。下面我们来证明被7整除需要满足的条件，权当引玉之砖。

这里使用了同余符号≡，最初该符合由数学家高斯于1800年左右首创，其词意为“余数相同”。本质上，a与b对模m同余即a≡b (mod m)，与a-b能够被m整除即m| (a-b)，只不过是相同性质的不同表示方法而已。

最后一步中，又因为3与7互质，所以若整数N能被7整除，则右边即去掉个位后变成的新n-1位数减去个位数的2倍必须能够被7整除。

可以看出，这里困难的不是证明一条性质，而是发现一条性质。

聪明的朋友你，如果有兴趣，不妨试一试证明其他的性质。

参考文献：Gullberg J . Mathematics: From the Birth of Numbers[M]. W. W. Norton & Company, 1997.这是一本很有意思的大部头，有兴趣的朋友可以找来一读。