在数学的乘法中，如果ab=1,我们就称a,b互为倒数，其它一些场合，也称为逆元。

那么，在数论里面，因为不能出现小数，那这种逆元是否存在呢？

先来引入求余概念 ：（以下内容来自网络）

(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）

(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）

(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）

(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错）

其中的符号/表示整除，%表示取余数运算。

上面运算规则中的除法是错误的，举一个例子就可以明白了：

(6/2)%4=3，(6%4)/(2%4)=2/2=1

所以，(a / b) % p = (a%p / b%p) %p 是错的。

那么，在求余过程中遇到除法怎么办？？？这就体现出逆元的重要性了。

如果 ax = 1；那么 x 是 a 的倒数， x = 1/a；

但是a如果不是1，那么x就是小数。

那数论中，大部分情况都有求余，所以现在问题变了：

ax = 1 (mod p)

那么x一定等于1/a吗？？？

当然不一定！！！！！

所以这时候，就把x看成a的倒数，只不过加了一个求余条件，所以x叫做： a关于p的逆元。

比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2关于模5的逆元，或者说2和3关于模5互为逆元

这里3的效果是不是跟1/2的效果一样，所以才叫数论倒数（逆元）

a的逆元，用 inv(a)来表示

那么 (a / b) % p = (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p

假设有方程 ax + by = 1。由欧拉定理我们知道，如果ab互质，则方程有解。

那么这个解出来的x就是a关于b的逆元，y就是b关于a的逆元。

给方程两边同时对b求余：

a * x % b + b * y % b = 1 % b   (b * y % b =0)

变成  a*x % b = 1 % b

转换个表示形式  a * x ≡ 1（mod b）

此方法求逆元时，一定要符合要求，即：ax + by = 1 且 gcd ( a, b) = 1 （a, b 互质）,这样代入函数求出的结果才对应。

所以x就是a关于b的逆元，同理可证y。（以上内容来自网络）

比如，3x+5y=1，a=3,b=5

a * x % 5 + 5 * y % 5 = 1 % 5

可得 a * x % 5 = 1 % 5

x=2,7等就是3的逆元。但当规定x处于0到5也就是b之间的时候，解唯一。