中小学数学竞赛爱好者和大学生适合练习的高难六宫数独（第02题）

JohnT28 03-23 5329

前言：

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如图M2，这是一个六宫数独游戏，它包含六行六列，分别用字母和数字表示行数和列数。它还有六个宫，上层左右各六个宫格组成第一宫、第二宫，中间左右各六个宫格组成第三宫、第四宫，下层左右各六个宫格组成第五宫、第六宫。

所谓数独，就是在空格中填入1~6的整数，填满后与题目给出的数字构成一个完整的六宫数表，其中每行、每列和每宫的数字都不能重复，保持唯一性。

一般的六宫数独游戏适合小学生初中生或初学数独者练习，熟悉后再向九宫数独过渡。但也有颇具难度的六宫数独，例如本题，需要用到更高级的技巧如候选数法和反证法才能解出。这样的高难六宫数独，更适合中小学数学竞赛爱好者和喜欢逻辑推理的大学生，熟练掌握后也可以用类似的方法去解答九宫数独游戏。

为保持推理的乐趣，我们一开始在解图M2的题目时，还是先用常规的解法，实在不行时才采用候选数法。因为候选数是充分发掘潜在信息的好工具，有了它，很多用常规方法还挺吃力的推理过程就变得轻松了不少。闲话少叙，马上做题吧。

如图01，它来自图M2。F3所在的第五宫、F行、3列已有数字12356，因此F3必为4，这用到唯一数法，就得图02。

在图02中，E3所在的第五宫、E行、3列已有12346，又由唯一数法，就有E3=5，见图03。

关于图03，仍用唯一数法。F4所在的第六宫、F行、4列已有12345，显然F4为6，如图04。

图04中，我们要寻找第二宫中谁是6。A3为6排除了A5、A6为6的可能性，F4是6也使B4不可能为6，可见第二宫中只能是B6=6，这就是行列排除法，故有图05。

看图05，B5为2使B行中其他格不能为2，F2为2也排除了2列中别的格为2的可能，又由行列排除法，第一宫中只有A1是2，就得图06。

考察图06，F4是6使F1不能是6，第五宫中只可能是E1为6，这是行排除法，如图07。

在图07中，还用行列排除法，C5、E1、A3都是6，使第三宫中C1、C2、D1、D3不能为6，只有D2=6，即为图08。

看看图08，B3所在的第一宫、B行、3列已有12456五个数字，由唯一数法，就有B3为3，如图09。

从图09中，我们发现第五宫和3列各有一个空格，由数字的唯一性便得D3是2，F1是1，见图10。

而图10的F5是F行的唯一空格，它只能是3，就是图11了。

对于图11，D4是1，4列中B4就不能是1，第二宫中的1必在A5或A6中，所以第一行的A2不是1，又F1为1使1列中的B1不可为1，只能B2=1。这是较复杂的行列排除法，后面的候选数法倒是能轻松解决这个问题，还是从图11就切换到候选数吧，也可顺便进行求B2的对比分析。

图11里，每行、每列、每宫中题目给出的和上面推算出的数字是已知的，由它们就得到每个空格还可能填入的几个候选数，用小数字表示，如图12。候选数法，往往是常规解法无法进行下去时破局的利器。

这些候选数，不可能的数字要逐步清除，最终每格只有一个数字是对的。视题目的复杂程度，有时找了很久也不知如何下手，但一旦抓住了关键点，问题就能大大简化了。

看看图12，B1与B4的候选数都是4和5，这称为数对（行、列或宫中三个格恰好包含三个数的情形叫数组），它是一种稳定的结构，即4和5肯定在B1与B4中，相关行列宫的其他格不可能是这两个候选数。这样，B2就只能是1，这比起前面的方法要简单得多，因为候选数让隐含的信息显露出来了。去除相关行列宫的其他1，可得图13。

来到图13，就比较棘手，要用到高难技巧了。解法和表达方式众多，基本的思路类似数学中的反证法。这里，我们介绍一种类似编程算法的逻辑推理表达式：

文字解释是这样的：

+5 [B1]－5 [C1/D1]

假设B1是5，则1列的C1及D1都不能是5；

+5 [C2]－5 [C4]

所以第三宫的C2是5，则C行的C4不是5；

+5 [D5]－5 [A5]

可见第四宫的D5是5，则5列的A5不可为5；

+5 [B4]－5 [B1]

因此第二宫的B4是5，这就与B1是5的假设矛盾，从而B1肯定不是5。

但B1的候选数是4和5，由以上的推理，知B1只能为4，清除相关行、列、宫的重复候选数，就是图14。这一步最重要，后面就是“轻舟已过万重山”了。

图14中，C1与D1是含有候选数3和5的数对，因而C2不能是5，只能为4。又A2和B4都有唯一候选数，故A2为5，B4也为5，这是唯一候选数的特性。把相关行列宫中重复的候选数清理后，便有图15。