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作者：Animesh Agarwal

这篇文章需要线性回归的先验知识。如果你不了解线性回归或需要更新知识，请阅读本系列的前几篇文章。

•使用Python的线性回归

•波士顿住房数据集的线性回归

线性回归要求因变量和自变量之间的关系是线性的。如果数据的分布更复杂，如下图所示？该怎么办？线性模型可以用于拟合非线性数据吗？我们如何生成最佳捕获数据的曲线，如下图所示？好吧，我们将在这篇文章中回答这些问题。

目录表

•为何使用多项式回归

•过度拟合VS欠拟合

•偏差与方差权衡

•将多项式回归应用于波士顿住房数据集。

为什么采用多项式回归？

为了理解多项式回归的必要性，让我们先生成一些随机数据集。

生成的数据看起来像

让我们将线性回归模型应用于此数据集。

最佳拟合线的曲线是

我们可以看到直线无法捕获数据中的模式。这是一个欠拟合的例子。计算线性线的RMSE和R2得分给出：

为了克服欠拟合，我们需要增加模型的复杂性。

为了生成更高阶的方程，我们可以将原始特征的功能添加为新特征。

线性模型为

可以转化为

这仍然被认为是线性模型，因为与特征相关联的系数/权重仍然是线性的。X2只是一个特征。然而，我们拟合的曲线本质上是二次曲线。

要将原始要素转换为更高阶的术语，我们将使用scikit-learn提供的PolynomialFeatures类。

接下来，我们使用线性回归训练模型。

生成多项式特征（这里是二次多项式）

我们可以看到，与线性相比，RMSE减少了，R2分数增加了。

如果我们尝试将三次曲线（degree= 3）拟合到数据集，我们可以看到它比二次曲线和线性曲线通过更多的数据点。

三次曲线的指标是

下面是数据集上拟合线性，二次和三次曲线的比较。

如果我们进一步将阶数增加到20，我们可以看到曲线通过更多数据点。下面是3次曲线和20次曲线的比较。

对于degree= 20，模型还捕获数据中的噪声。这是一个过度拟合的例子。即使这个模型传递了大部分数据，它也无法推广看不见的数据。

为了防止过度拟合，我们可以添加更多的训练样本，以便算法不会学习系统中的噪声并且可以变得更加通用。（注意：如果数据本身就是噪声，则添加更多数据可能会成为问题）。

我们如何选择最佳模型？要回答这个问题，我们需要了解偏差与方差的权衡。

偏差与方差的权衡

偏差是指由于模型在拟合数据时的简单假设而导致的误差。高偏差意味着模型无法捕获数据中的模式，这导致欠拟合。

下图总结了我们的学习经历。

从下图可以看出，随着模型复杂度的增加，偏差减小，方差增大，反之亦然在。理想情况下，机器学习模型应具有低方差和低偏差。但实际上两者都不可能。因此，为了实现在训练和看不见的数据上都表现良好的模型，需要进行权衡。

资料来源：http：//scott.fortmann-roe.com/docs/BiasVarian

到目前为止，我们已经涵盖了多项式回归背后的大部分理论。现在，让我们在上一篇博客中分析的Boston Housing数据集中实现这些概念。

将多项式回归应用于住房数据集

从下图可以看出，LSTAT与目标变量MEDV具有轻微的非线性变化。在训练模型之前，我们将原始特征转换为更高次多项式

让我们定义一个函数，它将原始特征转换为给定度数的多项式特征，然后对其应用线性回归。

接下来，我们将阶数调为2的上述函数。

使用多项式回归的模型的性能：

这比我们在之前的博客中使用线性回归所获得的要好。

这就是这个故事的全部内容。这个Github库包含了这个博客的所有代码，可以在这里找到用于波士顿住房数据集的完整Jupyter笔记本。

结论

在本机器学习系列中，我们介绍了线性回归、多项式回归，并在Boston Housing数据集上实现了这两个模型。