作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

在上一篇文章《代数方程中「巴别塔」（上）》我们概述了解代数方程的本质，就是建立一个包含多项式分裂域的根式塔。那么这座塔为何没能“通天”呢？为何在第四层就戛然而止？接下来我们一探究竟。

Part1群1置换群

群，是数学中极为重要的概念，充斥着数学的每一个角落。古典数学研究的对象往往是孤立静止的个例，而群作为一个有机的代数系统，可以为数学家整体的把握和利用，并且将数学中众多系统加以归类、比较，这成为现代代数学的重要思想。

我们一步到位，直接介绍置换群。先给定一个有限集合，我们不妨将其元素记为，接下来我们考虑集合上的置换 ，

我们省略箭头简记为

一个萝卜一个坑，置换就是拔起萝卜换一换坑。坑就是位置，位置换了，所以称为置换。我们把全体置换记为，称其为置换群。

两个置换可以复合，显然复合的结果还是一个置换。我们把置换的复合称为乘法，若于是便有

这是一个代数系统的乘法封闭性。

置换群是群论的始祖，它满足所有群拥有的三条性质：

单位元：满足：；逆元：，满足；结合律：注：单位元与逆元的定义都蕴含其唯一性：若存在两个单位元，则至于逆元为何唯一，这个请读者自证。

事实上，置换有更为简洁的表示方式，就是使用轮换的乘积表示。所谓轮换，就是一种基本的置换，例如

其他元素不变。那么这个轮换我们就可以记为上文我们提到的单位元我们一般记为

例如置换

就可以表示为

其实我们对群十分熟悉，只是没有将它们进行归纳：

整数加法群：群乘法是加法，单位元是，逆元是相反数；非零正有理数（或非零实数）群乘法群：群乘法就是乘法，单位元是，逆元是倒数；2群同态与正规子群

群这个概念将我们最熟悉的代数系统统一起来，使得数学家可以忽略集合元素的个体差异，从而在更加宏观、抽象的层面去研究群的整体特征和性质，并且加以比较——同态就是比较两个群的重要工具：

它是一种保持乘法运算的映射：

特别的，若是双射，则称为同构，即内部构造完全相同，只有元素记号的区别。

同态将单位元映射为单位元，将逆元映射为逆元。

满足单位元的定义，于是。

所以互逆，即

我们尤其关注哪些元素被映射成了的单位元，我们称为核，记为，那么核有什么特别的性质？任取，那么，于是，可以证明也是一个群，我们称是的子群。所以核是一种特殊的子群。

其实还不是一般的子群，它还有一个“绝技”：任取，则

或者

就好像是不倒翁一样，左晃一下右晃一下，最后还是不变。原因很简单：

我们把“不倒翁”性质称为是的正规子群，记为

所以，同态的核是原像集的正规子群，即正规子群被同态映射为单位元。如果可以把正规子群视为某种“大型单位元”，即

，即将它们视为同一个元素，这样构成的集合是一个新的群，我们称为商群，记作 商群上的乘法实际上由正规子群保证：

<左右划动>

核和同态的像有如下关系：

（第一同构定理）若，则

第一同构定理画像

Part2伽罗瓦理论

言归正传。我们回到代数方程。

3伽罗瓦群

根的对称性还体现在捆绑效应。我们先观察一个现象。设，沿着下图蓝色箭头还原以其为根的代数方程——

我们得到了一个6次方程，而由代数基本定理我们知道，此方程在复数域内应该有6个根。我们明明只想求根对应的代数方程，可是却不得不引入其余五个根，这几个根就好像是捆绑销售的商品，要买就得一起买……

那么我们现在从方程出发，沿着上图红色箭头去解上述方程：

其中是三次单位根。第一次平方（开方），引入了；第二次立方（开立方），引入了三次单位根 这个现象我们用上一篇文章中关于扩域的知识描述就是：

事实上，无论从哪个根入手，我们得到的方程都是一样的，例如：

从一个根置换成另一根保持方程不变，正方形旋转90度与自身重合，两者本质都是——对称性！

例如置换

，将一个根映射为另一个根。我们发现一个重要的性质：它是扩域

，

上的自同构，即，而且，它保持上的元素不动，我们记为

我们就称之为伽罗瓦群，它是保持底域不动、扩域上的自同构群。

上例中的伽罗瓦群可以用置换群的子群表示。我们考虑这样的对应

于是可以表示为，于是整个伽罗瓦群同构于

我们同样可以考虑，那么两个伽罗瓦群有何关系呢？容易得中的同构置换只需要在添加置换

所以

经过简单是验证，我们发现后者是前者的正规子群。

这并不是一个孤立的现象，恰恰是回答方程有根式解的关键。

4五次方程不可解

我们把上面的讨论浓缩为定理：

设扩域塔，其中是上某多项式的分裂域，是上某多项式的分裂域，则伽罗瓦群满足

在上例中 证明很简单，利用上述的第一同构定理，我们只需要考虑很自然的一个同态：

是上的映射再限制到上（这是可以做到的），显然这个同态的核就是

这个定理告诉我们：扩域的问题可以转化为群论的问题来讨论。回忆上一篇文章《代数方程中「巴别塔」（上）》中的根式塔：

这是根式求解的“通天之路”，利用伽罗瓦群的对应关系，我们得到

<左右划动>

然后继续类似上面的操作

于是我们获得了一个正规子群列

我们称之为可解群，如果它存在一条下降到单位元的正规子群列。这就好像一条直达地面的道路，不是空中楼阁。顾名思义，一个方程的可解性就归结为它的伽罗瓦群是否是可解。

不幸的是这条天路被拦腰截断——

5阶置换群是单群，即它没有非平凡的正规子群，于是它不是可解群。而且更高阶的置换群由于包含，故而都是不可解群。于是五次以及五次以上代数方程没有通用的求根公式。

事实上确实有五次方程的伽罗瓦群是（证略），例如

从而一举击碎了人类的通天大梦。

5结语

青年阿贝尔在收到柏林大学教授聘书前因为贫困和长时间的劳累而谢世；年轻气盛的伽罗瓦因为一场决斗而中弹身亡。但数学的天空会永远铭记这两颗璀璨的明星，数学万岁！

参考文献

[1] Hungerford, Thomas W. Algebra. 1st ed. 1974. New York, NY: Springer New York, 1974. Web.

[2] Rotman, Joseph. Galois Theory. 1st ed. 1990. New York, NY: Springer New York, 1990. Web.

[3] 张禾瑞. 近世代数基础 1978年修订本. 高等教育出版社, 1978. Print.

[4] 莫宗堅. 代数学. 第2版 修订版. 北京: 高等教育出版社, 2015. Print.

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