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制作伊斯兰几何图案的工艺传统很可能是基于需要大量实用几何知识的方法。这种方法被中世纪的建筑大师们理解和实践，他们使用传统的工具，如带有固定开口的圆规、直尺和方框，用于最初创建新的设计；然后通过记忆重复单元来重现已经熟悉和确定的图案。本文将讨论使用E.H. Hankin提出的一种方法，即“接触多边形”网格，重新创建特定的十角星多边形设计。

简介

几个世纪前，工匠们如何创造出今天在整个伊斯兰世界的历史建筑和纪念碑上仍然可以看到的美丽的几何图案？根据J. L. Berggren的说法，精心设计的几何图案的产生很可能涉及“相当多的几何知识”，这表明在工匠中，或者至少在建筑大师、建筑师和工程大师中，可能存在某种程度的数学知识[1]。很少有书面记录可以明确回答我们的问题，而且很可能实际采用了几种需要实用几何知识的不同方法，因为没有一种方法在所有情况下都是理想的。这种方法被使用中世纪传统工具的建筑大师所理解和实践——带有固定开口的圆规、直尺和正方形，用于最初创造新设计，然后用记忆中的网格重新创造已经熟悉和确立的图案。这些信息被小心翼翼地保护着，父亲传给儿子，建筑师传给学徒，一代代地传下去。

圆规和直尺构造技术教学

当穆斯林学者开始意识到这一传统和工匠面临的问题时，两个群体之间开始了交流，举行会议，讨论想法。理论数学家(al-Sijzī，AbūNasr al-Farabī‘，Abu’l-WAFā‘al-Buzjani，Al-Kashi，Umar al-Khayyami，和Abu Bakr al Khalid al-Tajir al-Rasadi等)开发并撰写了对对创造几何装饰感兴趣的工匠有用的几何技术[2，3]。这两个小组交流的结果是合伙编写了手册。例如，al-Buzjani的手册Kitāb fīmāyahtāju ilayhi al-sāni‘min a’māl al-handasa（关于工匠需要了解的几何结构）为工匠提供了说明，使用三种工具（直尺、正方形和带有固定开口的圆规）来完成基本的欧几里得结构，例如：

直角的构造;等分正方形或等分圆形;把直角分割成相等的部分;三等分一个角;绘制给定直线平行、垂直或形成一定角度的直线;确定圆心或圆心弧;把圆周分成相等的弧;从一个给定的点到一个圆的切线;通过圆上的一点画一条与圆相切的线;将圆弧三等分。从这些普遍的问题中，al-Buzjani又开始研究圆内嵌的正多边形的构造，其他涉及圆和弧的构造，以及各种图形内嵌的多边形图形的构造。在al-Buzjani的论文中，圆圈被用来生成一个平面中的所有正多边形[4,p. 138]。

这些几何结构构成了创造当时许多对称几何图案的基础。

在巴黎国家图书馆收藏的al-Buzjani手稿的波斯语译本中，附有一份20页的匿名波斯语手稿，Fī tadākhul al-ashkāl al-mutashābiha aw almutawāfiqa（《论相似和一致图形的交织图案》），人们通常简称它为A'māl wa ashkāl（《结构和图形》）。据信它是由一位工匠在11-13世纪的某个时候编写的，它是唯一已知的实用手册，为绘制61个重复单位的平面几何图案提供了方法论指导。波斯语的说明通常以标准的短语开始：“这种结构的绘制方法和比率或比例如下” [4]。Abu Bakr al-Khalid al-Tajir al-Rasadi，一位原本不知名的数学家，在《A'mal wa ashkal》中被提到两次。“工匠大师曾向[Abu Bakr al-Khalid]询问可以用哪些不同的方式来绘制一个特定的几何结构；他的一个解决方案在附图中得到了解释” [4, p. 168]。A'mal wa ashkal还包含了Abu Bakr al-Khalid的另一个几何结构，它展示了如何通过使用弧线的弦作为模块来画一个刻有五角星的五边形。

迭戈-洛佩斯-德-阿雷纳斯（Diego López de Arenas）的一本17世纪实用几何手册《Breve compendio de la carpintería de lo blanco y tratado de alarifes》是现存的唯一一份关于伊斯兰图案生成的文件。书中使用了阿拉伯和技术术语，并附有用直尺、正方形和圆规等基本工具绘制的几何结构，Breve compendio记录了西班牙建筑大师的方法，这些方法在安达卢西亚被重新征服后被延续为穆德哈尔风格[5]。

由于从10世纪开始，数学家和工匠之间就举行了会议，并编写了指导工匠如何进行基本几何构造的“实用几何学”手册，因此，一些建筑师能够使用几何构造技术来生成图案似乎是合理的。使用圆规和直尺可以在设计图案时有完全的灵活性——没有像使用多边形网格那样的人为限制。此外，圆规和直尺技术对于准确再现和重建图案的真实设计比例相当有用，而不需要测量尺寸。然而，掌握这些工具可能是不容易的，超出了典型的中世纪工匠的能力或兴趣。而且，尽管A'mal wa ashkal提供了非常复杂的、科学上正确的几何结构，它也提供了更简单的方法来构建同样的图案[4]。因此，也许在使用圆规和直尺技术方面的妥协对于这些几何图案的产生是必要的。

网格的使用

建筑卷轴提供了证据，证明在10世纪到16世纪之间，伊斯兰工匠可能曾使用格子在波斯创造伊斯兰几何图案。塔什干古卷由一位建筑大师于16世纪或17世纪编写，保存在塔什干科学院东方研究所，以及15世纪的Topkapi古卷(伊斯坦布尔Topkapi宫殿博物馆图书馆收藏的一本建筑设计手册)，其中包含几何设计草图，没有测量或附带如何创作的说明。“塔什干古卷”由一位建筑大师编撰，保存在塔什干科学院的东方研究所，以及15世纪的Topkapi古卷(伊斯坦布尔Topkapi宫殿博物馆图书馆收藏的建筑设计手册)。卷轴显示，正方形和三角形网格主要用于生成书法和砖瓦设计，由同心圆组成的多边形和径向网格可能被用于生成其他二维和三维图案。它们包括黑色和/或红色墨迹的建筑线条(有些也可以显示为虚线)，以及用锋利的金属工具(如圆规的尖端)在纸上轻轻划过的无墨水的“死线”。

未完成的建筑装饰似乎也表明，多边形网格——后来被E.Hanbury Hankin称为“接触多边形”可能被用作模板，以生成复杂的二维星形和多边形图案，然后转移到平坦的石膏墙上[6]。1905年，他报告说，一些交织的几何图案显然是借助于“在16世纪末法特普尔锡克里宫殿群的两个浴场的石膏墙上模糊划过的三角形和多边形网格”[6]。哈基姆浴场的一个设计包含了由等边三角形网格生成的互锁的矩形。另一个是在Jodh Bai宫殿的浴池中，包含了一个在底层多边形网格上绘制的交错的星星和多边形图案。汉金的结论是，这些接触的多边形网格可能是应用在墙壁上的，作为 "制作图案时使用的建筑线条"[4，第49页]。其他建筑证据包括一个包含一系列同心圆的正方形网格，该网格是用圆规在14世纪Turbat-i Jam的Masjid-i Safid的未完工前庭的石膏上划出来的[7]。

使用多边形网格很可能没有那么复杂，而且构造迅速，特别是在生成工匠们已经知道的那些设计时。使用网格也可能需要较少的独创性或原创性思维，因为复杂的设计可以很容易地通过强调生成的网格线的某些部分而擦除其他部分来产生。Gülru Necipoğlu指出：“与在纸上生成图案时使用的多个同心圆相比，将这种多边形转移到墙面上更容易”[4, p. 49]。使用底层网格可以按照正确的比例生成一些现有的设计，但它并不能普遍适用于所有的图案；例如，大多数具有曲线元素的设计无法从线段组成的网格中生成。

汉金的“接触多边形”网格

在[8]中，汉金指出，19世纪印度的建筑工人没有能力绘制即将被描述为“阿拉伯几何风格”的特定类别的图案，因此他假设，底层的多边形网格被用作辅助。他描述这种技术：

……在制作这样的图案时，首先需要用由接触的多边形组成的网络覆盖要装饰的表面。然后，通过每个多边形的每条边的中心绘制两条线。这些线相互交叉，形成字母X一样的图案，并一直延续到它们与其他来源相似的线相遇。这就完成了图案。然后，原始构造线被删除，图案不会留下任何绘制方法的线索[8，p.4]。

C. P. Clarke（英国女王在波斯的工程监督）在德黑兰获得的一个卷轴上潦草的说明支持了这一点，该说明是由19世纪的建筑师米尔扎·阿克巴写的。“未上墨的干点描图[是用尖头工具在纸上划出的]，表明了图案形成的基础”。[4, p. 14].

在下一节中，我们将说明汉金重现[8]中图版7的图32中十角星多边形的设计方法；这是作者使用The Geometer's Sketchpad软件重现出来的。

汉金关于再现十角星形多边形设计的说明

在[8,p. 14-15]中，汉金指出：“我们所考虑的图案的重复适合一个矩形，其对角线与一边夹角为36度，与邻边夹角为54度。”因此，要用他的方法创造这种图案，工匠必须首先找到一种方法来构建必要的角度。虽然汉金没有建议如何做到这一点，构建一个36度角并不困难。例如，一个顶角为36°的“黄金三角”可以用直尺和圆规构造；欧几里得还演示了如何在一个圆中构造一个正五边形，该五边形的两条不相交的对角线形成一个36度角。汉金接着说：“E(对角线的中点)必须画一个十边形，四分之一的十边形必须占据矩形的四个角。它们的大小必须是这样的，它们中的任何两个之间的距离将等于它们其中一条边的长度。为了发现所需的尺寸，应该采用以下步骤……”这包括构建一条对角线的一半的中点，然后通过该点的垂直线段，如图1所示。接下来，构造两个角平分线，如图2和图3所示。第二个角平分线与对角线相交的点是圆上的一个点，它最终将在左下角的顶点处外接一个十边(图4)。

图5中的小圆外接一个五边形，它可以在小圆内使用图6中所示的点构建。

汉金没有说明如何构建其余的五边形，但他说可以构建其他的五边形。由于两个正五边形和一个正十边形正好围绕着三个多边形的一个共同顶点，这很容易做到。图7显示了两个半正五边形被放置在关于左下角顶点的矩形内。在矩形的其他三个角上重复这个过程，就会得到图8中的配置，有12个五角星（其中两对是重叠的）。将这些点连接起来形成一个十边形，并擦除圆圈、重叠的五边形边缘、矩形的对角线以及矩形外的所有点和线段，我们得到了汉肯所说的“接触多边形”网格（图9）。

要在中心十边形内构建一个10点的星形多边形，以及由五边形外接的5点星形多边形，我们将五边形的边的中点与通过这些点的线段连接起来，这些线段平行于五边形的边，并在封闭的矩形处结束，如图10所示。

突出适当的线段可以得到5角和10角的星星以及其他多边形的设计，如图11所示。然而，为了完成设计，我们必须在现有的点之间构建额外的线段，如图12中矩形的四角和图13中矩形顶部和底部的中心所示——这个问题汉金没能解决。图14显示了已经完成的设计，其中有接触网格的多边形，以及在现有点之间绘制的虚线段。

图15显示了在接触网格中包含底层多边形的完整设计，图16显示了完整设计。图17中的照片显示了现存的十角星图案的一部分。

讨论

虽然很少有书面记录记载中世纪工匠如何创造伊斯兰几何图案，但实用的几何知识很可能是必要的。来自建筑卷轴和未完成的建筑装饰的证据也支持这样的论点，即可能已经使用了基本的多边形网格，如汉金的“接触多边形”。使用这些网格比使用圆规和直尺的绘画技术要简单快捷得多，特别是对于生成那些工匠们已经熟悉的设计。汉金没有提供完成设计所需的所有细节，但通过一些即兴创作，他的方法以一种相对简单和直接的方式产生了图案。由于长方形的对角线和相邻的边所形成的角度是36°和54°，因此所构建的十边形（或部分十边形）和五边形是正十边形和正五边形，因此最终的图案没有变形。作者在[9]-[11]中讨论了用直尺和圆规创造这种相同图案的其他可能技术。

参考文献

[1] Berggren, J. L. (1986). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam, Springer-Verlag.

[2] Özdural, Alpay (1995). Omar Khayyam, Mathematicians, and Conversazioni with Artisans, Journal of the Society of Architectural Historians, 54, 54-71.

[3] Özdural, Alpay (2000). Mathematics and Art: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World, Historia Mathematica, 27, 171 – 201.

[4] Necipoğlu, Gülru (1995). The Topkapi Scroll – Geometry and Ornament in Islamic Architecture: Topkapi Palace Museum Library MS H. 1956, Santa Monica, California: The Getty Center for the History of Art and Humanities.

[5] López de Arenas, Diego (1912). Reprint. Breve compendio de la carpintería de lo blanco y tratado dealarifes. Madrid: R. Álvarez. Original edition, Seville: Luis Estupán, 1633-

[6] Hankin, E. H. (1905). On Some Discoveries of the Methods of Design Employed in the

Mohammedan Art, Journal of the Society of Arts, 53, 461-477.

[7] O’Kane, B. (1987). Timurid Architecture in Khurasan. Costa Mesa, California: Mazda.

[8] Hankin, E. H. (1925). The Drawing of Geometric Patterns in Saracenic Art. Memoirs of the Archaeological Survey of India, Government of India, Central Publications Branch.

[9] Bodner, B. L. (2004). “Star Polygon Designs of La Alhambra’s Wooden Ceilings,” Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science Conference Proceedings.

[10] Bodner, B. L. (2006). “Remarkable Pentagon Star Polygon Designs,” 45-minute keynote address, Geometric Islamic Art Workshop, Leiden University, Netherlands.

[11] Bodner, B. L. (2007). “Creating Geometric Islamic Designs,” 90-minute SIGMAA-ARTS Special Session, Mathematical Association of America Mathfest, San Jose, CA .

[12] B. Lynn Bodner, Hankin’s ‘Polygons in Contact’ Grid Method for Recreating a Decagonal Star Polygon Design

青山不改，绿水长流，在下告退。

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