矩阵的逆矩阵的求法

给定矩阵A，如果存在AB = BA = I的矩阵B，则B称为A的逆矩阵。我们可以类比将一个数乘以它的倒数，得到1，当我们将一个矩阵乘以它的逆矩阵，得到单位矩阵I（参考矩阵的基本知识）。 A的逆矩阵用A-1表示。 逆矩阵被用来求线性方程组的解。 利用行列式和伴随式，我们可以很容易地求出方阵的逆矩阵。

预备知识：

什么是余子式?

什么是代数余子式？

什么是伴随矩阵？

行列式的计算（参见行列式的基本概念）

如何求余子式?

让我们考虑以下矩阵:

为了找到2的余子式，我们在2上放上两条横竖线，去掉包含2的行和列，如下所示:

剩下的就是原矩阵的2的余子式：

余子式用M表示，来源于英语Minor。方阵A的 余子式是指划掉列的元素第i行和第j所余下的行列式。

如何求代数余子式

有了上面余子式的概念，就容易理解代数余子式了，它是元素的余子式乘以一个正负号（±1）。.

设A为n * n阶的任意矩阵，为(n - 1) x (n - 1)矩阵，它是通过删除元素的第i行和第j列得到。 然后，这个余子式再乘以一个符号，正负号是由(-1)的（i+j）幂运算确定。 Aij代数余子式，Aij可由下式求出:

问题:求矩阵的余子矩阵

解:

设Mij是第i行和第j列元素的余子式。矩阵A各元素的余子式的值为:

每项的代数余子式可以求出；

矩阵A的代数余子阵形成的矩阵为:

怎样求逆矩阵？

伴随矩阵：

假如某个2阶矩阵的代数余子式为：

那么：

更高阶的伴随矩阵；

换一种说法，A的伴随矩阵就是将A中的每个元素换成其代数余子式的值，然后再做转置矩阵，就形成了A的伴随矩阵。

以下结论非常重要:

只有非奇异矩阵才具有逆，即方阵a具有逆当且仅当行列式| A | ≠0。 A是可逆的。

矩阵的逆若存在, 它是唯一的，即非奇异矩阵A不能拥有不同的逆，如B和C。如果A是一个非奇异矩阵，那么A的逆矩阵为：

求矩阵逆的算法:

假设已知一个方阵A，求其逆矩阵。

1 如果行列式|A| = 0，逆矩阵不存在。 如果| A | ≠0，逆矩阵存在，并继续步骤2。

2找出A中所有元素的余子式。

3写出矩阵A的代数余子式矩阵。

4写的一个伴随矩阵。

5 求出A逆矩阵

6 通过验算A是否是单位矩阵来判断所求的逆矩阵是否正确。

例题:

求A的可逆矩阵

解：

各个元素的余子式的值为：

=-2，

=1

=-3

=2

在其前面乘上(-1)i+j后，得出代数余子式的矩阵：

所以伴随矩阵（行列互换成为转置矩阵）为：

读者自己可以验证AA-1是否等于1。求逆矩阵还有一种方法请参考用高斯消元法解决线性系统问题。