梯度下降(Gradient Descent)是一种常用的优化算法，通常用于对函数进行最小化操作。在机器学习中，梯度下降法用于训练神经网络和其他机器学习模型的权重参数。最简单的梯度下降法是批量梯度下降法(Batch Gradient Descent)，其基本思路可以描述为：根据损失函数对权重参数求导，然后根据这个导数更新权重参数，这样迭代多次，最终可以找到函数的最小值点。

Python 中实现梯度下降法可以使用 Numpy 库进行向量化计算，以下是一个简单的实例：

import numpy as np

# 定义损失函数

def mse_loss(y_true, y_pred):

y_true: 真实值

y_pred: 预测值

# MSE 损失函数计算

mse = np.mean((y_true - y_pred) ** 2)

return mse

# 定义梯度下降函数

def gradient_descent(X, y_true, lr=0.01, n_iters=1000):

X: 特征矩阵

y_true: 真实值

lr: 学习率

n_iters: 迭代次数

# 初始化权重参数向量

n_features = X.shape[1]

weights = np.zeros(n_features)

# 更新权重参数

for i in range(n_iters):

# 计算预测值

y_pred = np.dot(X, weights)

# 计算梯度

gradient = np.dot(2*X.T, (y_pred - y_true)) / len(y_true)

# 更新权重

weights -= lr * gradient

# 打印损失函数值，每 100 次迭代输出一次

if i % 100 == 0:

mse_loss_value = mse_loss(y_true, y_pred)

print(f"Iteration {i}, loss = {mse_loss_value}")

return weights

# 生成样本数据

X = np.linspace(0, 10, 100)

y = X**2 + 2*X + 3 + np.random.normal(0, 1, 100)

# 特征矩阵

X = np.array([X, np.ones(len(X))]).T

# 梯度下降

gradient_descent(X, y)

在这个简单的例子中，我们生成了 100 个数据，并构造一个二次函数作为真实模型。然后通过带有噪声的数据进行训练，使用梯度下降算法求解出这个二次函数的系数。