一、对等法

对等的数学含义是指给定条件下引发的诸种情形具有同等的地位，推理过程有“平行”的独立性，结论表现出“相似”的一致性。

例1、菱形ABCD的对角线BD等于菱形的边长，过顶点C在形外作直线分别交AB、AD于M和N，BN与DM交于P。

求证：圆BPM与圆DPN的半径之积等于菱形边长平方的三分之一。

设菱形的边长为a，圆BPM与圆DPN的半径分别为和。命题的题断即可表示为：

。

解析：推出这个式子，要解决两个矛盾。

第一，式中的常数

如何处理？注意到圆BPM与圆DPN处在对等状况！题断可以改写为对等式：

第二，这个等式如何落实？当MN//BD时，构成轴对称图形，其中圆BPM、圆DPN分别处于两个相似的正三角形BMC和DNC中，因，而满足。

对于一般情形，、是变量，随MN的位置而变化，它们各自与定数a无确定关系，上述的推理不适用，但对等意义并没有失去，作为一种重要的数学思想和方法，可以被借鉴。

由菱形性质知：△BMC∽△DCN，

有BM·DN=BC·DC=a·a，

于是题断转换为新对等式：

BM·DN=。

为使BM=，成立，只须证明∠BPM=60°，这个思维的集中点是容易解释的。

∠BPM=60°。

二、平衡法

当线段相关式两边的项数或系数不相同时，为便于考查对比，总希望在结构形式上能“同一”化。这种心理的直观要求反映到思维活动中就是平衡法。

例2、在圆O的直径MN延长线上截取MA=OM，作AB⊥OA，引BC切圆O于C，作PM⊥OA交BC于P。

求证：。

解析：题断两边的项数相同，一般不再拆项分离，尽量避免新添不必要的麻烦，不妨试将常数2化并到PB（或PC）中去，变成比例中项式：或。

此时因PA不垂直BC，不能使用射影定理，可进一步对PA采取相应地加倍措施，借助于相交弦定理。

证法一：如图2所示，延长PC到E使CE=CP，延长AP至F使PF=PA。题断即转换为：PA·PF=PB·PE，为此只要证明∠1=∠2，这可由条件得到递推简略式为：

∠1=∠3=∠4=∠5=∠6=∠2。

其中∠4=∠5是因为PE=OF（=2·PM），使△POE与△OPF等腰且相似。

证法二：如图3所示，延长PB至E，使BE=PB，延长OP至F，使PF=OP（=PA）。原题断转换为PO·PF=PC·PE。

注意到FA、BA都垂直于OA而平行重合，且∠1=∠2，∠3=∠4，即∠1+∠3=90°，于是△PEF∽△POC。

得证命题。

比较两种证法，后者抓住垂直条件的主线索，思维过程简捷清晰。

三、降（升）幂法

线段与实数是一一对应的，任何线段在量度上都可以表示成其他线段的一次齐次解析式。根据线段的尺规作图理论，线段间这种相关式总能够通过五种（加、减、乘、除、开平方）代数运算而最终获得。对一些关系式如果两边的幂指数不一致或者即使幂指数相同，为了证明方便，有时需要采用适当的降（升）幂的方法。先将较高（低）次幂的项降（升）幂化为常见的基本形式，然后进行有机地融合归总。

例3、直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，圆（CD）分别交AC、BC于E、F。

求证：

。

解析：题中条件的特点明显的给出几个直角三角形以及切、割线。可以提供射影定理。而题断的左边是线段的三次幂比，自然要降去一次幂，得到

。

剩下的左边比

有多种替代比，如何选择？右边比

用什么比替代能较好的表达它与比

的联系？

这时考虑到和的结果，可将上式两边同时升幂二次（平方），由。

立即推出题断。

当然对左边作一次性处理，降到一次幂比。连结DE、DF可由

相乘之而得结果，不过要兜圈子绕弯路。

四、伸缩法

在比较两个同类量的长短（线段）、大小（角、面积）时，常将短的线段伸长，长的线段缩短。如果两条线段不在同一直线上，尽量的变直，求和则延伸，相反求差则截取。这种方法我们归结为伸缩法。

例4、如图5，△ABC中，AB=AC，P、Q在圆ABC的上。

求证：

。

解析：用对等法和平衡法证明，过程将冗繁。式子的主要症结在妥当处理PB+PC和QB。设想当PB、PC及QB、QC共线时，就形成四条比例的状态。伸直延长PB至D使BD=PC；弯直在BQ内截取BE=CQ（题中∠QCB>∠ACB=∠ABC>∠QBC有BQ>CQ）。原题断转换为。

由∠ABD=∠ACP得△ABD≌△ACP，进而有等腰△ADP∽△ABC。

同理，因△ABE≌△ACD有等腰△AEQ∽△ABC。

于是，等腰△ADP∽△AEQ。

命题得证。

五、试探法

线段相关式中，可能出现一类情况：几条变化线段之间量的关系是确定不变的。例1就是两个变半径（）的积用不变量（a）表示的。几何里的定值问题，轨迹问题也反映了“变中有不变，不变中有变”的哲理。遵循“一般——特殊——一般”的原则，将变量放置在特定的位置去考虑试探它们与不变量存在的关系，然后在任意位置给予论证。

例5、试证：正三角形内切圆上任一点到三顶点距离的平方和为定值。

解析：如图6，设P是正三角形内切圆上任一点。记圆半径为r（或三角形边长为a），是确定的不变量。

显然，圆心O也即三角形的重心（外心），其中。

当P在E点（OA的中点时）有：

当P在切点F处时，有

因此，只要证明P在圆上任意点时，满足。

连结PO（一般与特殊结合），并记∠POA为，即∠POB=120°，∠POC=120°+，施用余弦定理

三式相加得

其中，。

对命题的条件作适当的改变或推广：正三角形外接圆上一点、正多边形内切圆（外接圆）上一点。得到相应地题断：该点到各点距离的平方和为定值。

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