论文标题：An overview of gradient descent optimization algorithms

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不管是使用PyTorch还是TensorFlow，用多了Optimizer优化器封装好的函数，对其内部使用的优化算法却没有仔细研究过，也很难对其优点和缺点进行实用的解释。所以打算以这一篇论文为主线并结合多篇优秀博文，回顾和总结目前主流的优化算法，对于没有深入了解过的算法，正好借这个机会学习一下。

写在前面

当前使用的许多优化算法，是对梯度下降法的衍生和优化。在微积分中，对多元函数的参数求 偏导数，把求得的各个参数的导数以向量的形式写出来就是梯度。梯度就是函数变化最快的地方。梯度下降是迭代法的一种，在求解机器学习算法的模型参数 时，即无约束问题时，梯度下降是最常采用的方法之一。这里定义一个通用的思路框架，方便我们后面理解各算法之间的关系和改进。首先定义待优化参数 ，目标函数 ，学习率为 ，然后我们进行迭代优化，假设当前的epoch为 ，则有：

计算目标函数关于当前参数的梯度：根据历史梯度计算一阶动量和二阶动量： ，计算当前时刻的下降梯度：根据下降梯度进行更新：

其中， 为下一个时刻的参数， 为当前时刻 参数，后面的描述我们都将结合这个框架来进行。这里提一下一些概念：

鞍点：一个光滑函数的鞍点邻域的曲线，曲面，或超曲面，都位于这点的切线的不同边。例如这个二维图形，像个马鞍：在x-轴方向往上曲，在y-轴方向往下曲，鞍点就是（0，0）。指数加权平均、偏差修正：可参见这篇文章

什么是指数加权平均、偏差修正？- 郭耀华 - 博客园

Gradient Descent（GD）

在GD中没有动量的概念，也就是说在上述框架中： ； ，则我们在当前时刻需要下降的梯度就是 ，则使用梯度下降法更新参数为（假设当前样本为 ，每当样本输入时，参数即进行更新）：

梯度下降算法中，模型参数的更新调整，与代价函数关于模型参数的梯度有关，即沿着梯度的方向不断减小模型参数，从而最小化代价函数。基本策略可以理解为”在有限视距内寻找最快路径下山“，因此每走一步，参考当前位置最陡的方向(即梯度)进而迈出下一步，更形象的如下图：

标准的梯度下降主要有两个缺点：

训练速度慢：在应用于大型数据集中，每输入一个样本都要更新一次参数，且每次迭代都要遍历所有的样本，会使得训练过程及其缓慢，需要花费很长时间才能得到收敛解。容易陷入局部最优解：由于是在有限视距内寻找下山的反向，当陷入平坦的洼地，会误以为到达了山地的最低点，从而不会继续往下走。所谓的局部最优解就是鞍点，落入鞍点，梯度为0，使得模型参数不在继续更新。Batch Gradient Descent（BGD）

BGD相对于标准GD进行了改进，改进的地方通过它的名字应该也能看出来，也就是不再是想标准GD一样，对每个样本输入都进行参数更新，而是针对一个批量的数据输入进行参数更新。我们假设批量训练样本总数为 ，样本为 ，则在第 对样本 上损失函数关于参数的梯度为 , 则使用BGD更新参数为：

从上面的公式我们可以看到，BGD其实是在一个批量的样本数据中，求取该批量样本梯度的均值来更新参数，即每次权值调整发生在批量样本输入之后，而不是每输入一个样本就更新一次模型参数，这样就会大大加快训练速度，但是还是不够，我们接着往下看。

Stochastic Gradient Descent（SGD）

随机梯度下降法，不像BGD每一次参数更新，需要计算整个数据样本集的梯度，而是每次参数更新时，仅仅选取一个样本 计算其梯度，参数更新公式为：

公式看起来和上面标准GD一样，但是注意了，这里的样本是从批量中随机选取一个，而标准GD是所有的输入样本都进行计算。可以看到BGD和SGD是两个极端，SGD由于每次参数更新仅仅需要计算一个样本的梯度，训练速度很快，即使在样本量很大的情况下，可能只需要其中一部分样本就能迭代到最优解，由于每次迭代并不是都向着整体最优化方向，导致梯度下降的波动非常大（如下图），更容易从一个局部最优跳到另一个局部最优，准确度下降。

论文中提到，当缓慢降低学习率时，SGD会显示与BGD相同的收敛行为，几乎一定会收敛到局部（非凸优化）或全局最小值（凸优化）。SGD的优点：

虽然看起来SGD波动非常大，会走很多弯路，但是对梯度的要求很低（计算梯度快），而且对于引入噪声，大量的理论和实践工作证明，只要噪声不是特别大，SGD都能很好地收敛。应用大型数据集时，训练速度很快。比如每次从百万数据样本中，取几百个数据点，算一个SGD梯度，更新一下模型参数。相比于标准梯度下降法的遍历全部样本，每输入一个样本更新一次参数，要快得多。

SGD的缺点：

SGD在随机选择梯度的同时会引入噪声，使得权值更新的方向不一定正确（次要）。SGD也没能单独克服局部最优解的问题（主要）。Mini-batch Gradient Descent（MBGD，也叫作SGD）

小批量梯度下降法就是结合BGD和SGD的折中，对于含有 个训练样本的数据集，每次参数更新，选择一个大小为 $m(m<n)$ 的mini-batch数据样本计算其梯度，其参数更新公式如下：< p>

小批量梯度下降法即保证了训练的速度，又能保证最后收敛的准确率，目前的SGD默认是小批量梯度下降算法。常用的小批量尺寸范围在50到256之间，但可能因不同的应用而异。MBGD的缺点：

Mini-batch gradient descent 不能保证很好的收敛性，learning rate 如果选择的太小，收敛速度会很慢，如果太大，loss function 就会在极小值处不停地震荡甚至偏离（有一种措施是先设定大一点的学习率，当两次迭代之间的变化低于某个阈值后，就减小 learning rate，不过这个阈值的设定需要提前写好，这样的话就不能够适应数据集的特点）。对于非凸函数，还要避免陷于局部极小值处，或者鞍点处，因为鞍点所有维度的梯度都接近于0，SGD 很容易被困在这里（会在鞍点或者局部最小点震荡跳动，因为在此点处，如果是BGD的训练集全集带入，则优化会停止不动，如果是mini-batch或者SGD，每次找到的梯度都是不同的，就会发生震荡，来回跳动）。SGD对所有参数更新时应用同样的 learning rate，如果我们的数据是稀疏的，我们更希望对出现频率低的特征进行大一点的更新， 且learning rate会随着更新的次数逐渐变小。Momentum

momentum算法思想：参数更新时在一定程度上保留之前更新的方向，同时又利用当前batch的梯度微调最终的更新方向，简言之就是通过积累之前的动量来加速当前的梯度。从这里开始，我们引入一阶动量的概念（在mini-batch SGD的基础之上），也就是说，在最开始说的框架中， ，而 不变，参数更新公式如下：

一阶动量是各个时刻梯度方向的指数移动平均值，约等于最近 个时刻的梯度向量和的平均值（移动平均是啥看最上面的文章）。也就是说， 时刻的下降方向，不仅由当前点的梯度方向决定，而且由此前累积的下降方向决定。 的经验值为0.9，这就意味着下降方向主要是此前累积的下降方向，并略微偏向当前时刻的下降方向。在梯度方向改变时，momentum能够降低参数更新速度，从而减少震荡，在梯度方向相同时，momentum可以加速参数更新， 从而加速收敛，如下图：

动量主要解决SGD的两个问题：

随机梯度的方法（引入的噪声）Hessian矩阵病态问题（可以理解为SGD在收敛过程中和正确梯度相比来回摆动比较大的问题）。Nesterov Accelerated Gradient

NAG(Nesterov accelerated gradient）算法，是Momentum动量算法的变种。momentum保留了上一时刻的梯度 ，对其没有进行任何改变，NAG是momentum的改进，在梯度更新时做一个矫正，具体做法就是在当前的梯度上添加上一时刻的动量 ，梯度改变为 ，参数更新公式如下：

加上nesterov项后，梯度在大的跳跃后，进行计算对当前梯度进行校正。下图是momentum和nesterrov的对比表述图如下：

Nesterov动量梯度的计算在模型参数施加当前速度之后，因此可以理解为往标准动量中添加了一个校正因子。在凸批量梯度的情况下，Nesterov动量将额外误差收敛率从 (k步后)改进到 ，然而，在随机梯度情况下，Nesterov动量对收敛率的作用却不是很大。Momentum和Nexterov都是为了使梯度更新更灵活。但是人工设计的学习率总是有些生硬，下面介绍几种自适应学习率的方法。

Adagrad

Adagrad其实是对学习率进行了一个约束，对于经常更新的参数，我们已经积累了大量关于它的知识，不希望被单个样本影响太大，希望学习速率慢一些；对于偶尔更新的参数，我们了解的信息太少，希望能从每个偶然出现的样本身上多学一些，即学习速率大一些。而该方法中开始使用二阶动量，才意味着“自适应学习率”优化算法时代的到来。我们前面都没有好好的讨论二阶动量，二阶动量是个啥？它是用来度量历史更新频率的，二阶动量是迄今为止所有梯度值的平方和，即 ，在最上面的框架中 （在这里 ）， 也就是说，我们的学习率现在是 （一般为了避免分母为0，会在分母上加一个小的平滑项 ），从这里我们就会发现 是恒大于0的，而且参数更新越频繁，二阶动量越大，学习率就越小，这一方法在稀疏数据场景下表现非常好，参数更新公式如下：

细心的小伙伴应该会发现Adagrad还是存在一个很明显的缺点：

仍需要手工设置一个全局学习率 , 如果 设置过大的话，会使regularizer过于敏感，对梯度的调节太大中后期，分母上梯度累加的平方和会越来越大，使得参数更新量趋近于0，使得训练提前结束，无法学习Adadelta

由于AdaGrad调整学习率变化过于激进，我们考虑一个改变二阶动量计算方法的策略：不累积全部历史梯度，而只关注过去一段时间窗口的下降梯度，即Adadelta只累加固定大小的项，并且也不直接存储这些项，仅仅是近似计算对应的平均值（指数移动平均值），这就避免了二阶动量持续累积、导致训练过程提前结束的问题了，参数更新公式如下：

观察上面的参数更新公式，我们发现还是依赖于全局学习率 ，但是原作者在此基础之上做出了一定的处理，上式经过牛顿迭代法之后，得到Adadelta最终迭代公式如下式，其中 ：

此时可以看出Adadelta已经不依赖全局learning rate了，Adadelta有如下特点：

训练初中期，加速效果不错，很快训练后期，反复在局部最小值附近抖动RMSprop

RMSProp算法修改了AdaGrad的梯度平方和累加为指数加权的移动平均，使得其在非凸设定下效果更好。设定参数：全局初始率 , 默认设为0.001，decay rate ，默认设置为0.9，一个极小的常量 ，通常为10e-6，参数更新公式如下，其中 ：

其实RMSprop依然依赖于全局学习率RMSprop算是Adagrad的一种发展，和Adadelta的变体，效果趋于二者之间适合处理非平稳目标(包括季节性和周期性)——对于RNN效果很好Adaptive Moment Estimation（Adam）

其实有了前面的方法，Adam和Nadam的出现就很理所当然的了，因为它们结合了前面方法的一阶动量和二阶动量。我们看到，SGD-M和NAG在SGD基础上增加了一阶动量，AdaGrad和AdaDelta在SGD基础上增加了二阶动量，参数更新公式如下（按照最开始总结的计算框架）：

通常情况下，默认值为 、 和 ，Adam通常被认为对超参数的选择相当鲁棒，特点如下：

Adam梯度经过偏置校正后，每一次迭代学习率都有一个固定范围，使得参数比较平稳。结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点为不同的参数计算不同的自适应学习率也适用于大多非凸优化问题——适用于大数据集和高维空间。AdaMax

Adamax是Adam的一种变体，此方法对学习率的上限提供了一个更简单的范围，即使用无穷范式，参数更新公式如下：

通常情况下，默认值为 、 和

Nadam

其实如果说要集成所有方法的优点于一身的话，Nadam应该就是了，Adam遗漏了啥？没错，就是Nesterov项，我们在Adam的基础上，加上Nesterov项就是Nadam了，参数更新公式如下：

可以看出，Nadam对学习率有更强的约束，同时对梯度的更新也有更直接的影响。一般而言，在使用带动量的RMSprop或Adam的问题上，使用Nadam可以取得更好的结果。来张直观的动态图展示上述优化算法的效果：

下图描述了在一个曲面上，6种优化器的表现：下图在一个存在鞍点的曲面，比较6中优化器的性能表现：下图图比较了6种优化器收敛到目标点（五角星）的运行过程总结

那种优化器最好？该选择哪种优化算法？目前还没能够达达成共识。Schaul et al (2014)展示了许多优化算法在大量学习任务上极具价值的比较。虽然结果表明，具有自适应学习率的优化器表现的很鲁棒，不分伯仲，但是没有哪种算法能够脱颖而出。目前，最流行并且使用很高的优化器（算法）包括SGD、具有动量的SGD、RMSprop、具有动量的RMSProp、AdaDelta和Adam。在实际应用中，选择哪种优化器应结合具体问题；同时，也优化器的选择也取决于使用者对优化器的熟悉程度（比如参数的调节等等）。

对于稀疏数据，尽量使用学习率可自适应的优化方法，不用手动调节，而且最好采用默认值SGD通常训练时间更长，但是在好的初始化和学习率调度方案的情况下，结果更可靠如果在意更快的收敛，并且需要训练较深较复杂的网络时，推荐使用学习率自适应的优化方法。Adadelta，RMSprop，Adam是比较相近的算法，在相似的情况下表现差不多。在想使用带动量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果如果验证损失较长时间没有得到改善，可以停止训练。添加梯度噪声（高斯分布 ）到参数更新，可使网络对不良初始化更加健壮，并有助于训练特别深而复杂的网络。

参考文献：

An overview of gradient descent optimization algorithms（）深度学习最全优化方法总结比较（SGD，Adagrad，Adadelta，Adam，Adamax，Nadam）（）visualize_optimizers（）lossfunctions（）优化算法Optimizer比较和总结（）一个框架看懂优化算法之异同 SGD/AdaGrad/Adam（）深度学习——优化器算法Optimizer详解（BGD、SGD、MBGD、Momentum、NAG、Adagrad、Adadelta、RMSprop、Adam）（）机器学习：各种优化器Optimizer的总结与比较（）optimizer优化算法总结（）

本文转自机器学习算法与python实战，仅用于学术交流。