曾容（复旦大学附属中学）

我们知道，在直角坐标系中，直线方程的形式很多。有点斜式、截斜式、两点式、截距式、法线式和一般形式，此外还有参数式。为什么要有这么多种式呢？主要是因为这些不同式的方程各有特点，可以适应各种需要。而根据题目的特点选择适当的直线方程，做到正确、合理、简洁地解题，则是学习直线方程时应该着重注意的。

为了在解决问题时“选式”选得好，首先应该大体了解一下这些式的特点及互相之间的关系。很明显，截斜式是点斜式的特殊情况，截距式是两点式的特殊情况，而过两个已知点的直线是同斜率（或倾角）的直线中的一条，所以在这四种形式的直线方程中，最基本的是点斜式。而且，直线的斜率是直线应用的一个主要方面，在解决有关夹角的问题时几乎都少不了它。因为在解析几何中，两条直线的夹角是用两条直线的倾角来表示的，而倾角是通过它的正切成为斜率，并进而与点的坐标联系起来。至于直线的法线式方程，由于方程的系数中含有距离，所以在解决有关距离的问题时，利用法线式就显得方便。

下面举几个例子，谈一谈“选式”的问题，顺便也涉及一些解题中容易犯错误的地方。

［例1］已知等腰三角形的底边所在直线的方程是3x+y-17=0，一腰所在直线的方程是x+y+7=0，另一腰经过点(3,12)，求另一腰所在直线的方程。

解 一个三角形成为等腰的充要条件中，以“底角相等”使用最为便捷。这就提示可用斜率。现在所求的直线方程又过一已知点，因此用点斜式比较合适。

设另一腰的直线斜率为k，三角形底角为θ，因为θ为锐角，所以

本文写作于八十年代，现在正切写为:tan θ

解得k＝-1，k＝7，经检验知，k＝-1不合要求，（为什么需要检验？）于是另一腰的直线方程为

y-12=7(x-3),

即

7x-y-9=0.

这个解法有没有问题？读者可以先想一想，看了下面的例2就清楚了。

［例2] 已知两点 A (1,0)、 B (3,2√3）到直线l的距离都等于1，求直线l的方程。

解 没有给出任何已知点，因此选两点式与点斜式（包括斜截式）有不便之处。由于有“距离”似应选法线式，为了避免解三角方程，一种常用的方法是仍然先设为斜截式再化成法线式来做。

学习解析几何时要随时注意联系平面几何的知识。要经常利用平面几何中的定理来简化问题中的条件与推理过程（在例1中，我们就是这样做了）还要利用平面几何的性质作为对解答的一种直观检验。本例得出了三条直线，可能已经很出一些同学的意外。但如果用平面几何的方法一思考，那就很容易知道应该有四条直线（见图）。那么，还有一条到哪里去了？一研究，发现

除了x=3)，只是凑巧x=3不是所求的解，因而没有引出错误罢了。

这个例子告诉我们，应该注意各类直线方程不包括哪些直线。点斜式（斜截式）不包括与 y 轴平行的直线，截距式不包括与x、y 轴平行的直线、法线式和一般式则没有上述限制。因此，例2如用后两种直线方程做，都可以求出四条直线，只是运算复杂些。同学们不妨试试。

最后，列出几个题目供同学们练习。

1、已知等腰直角三角形斜边所在的直线方程为 3x-y+5=0，直角顶点为（4,1)，求两条直角边所在直线的方程。

2、设直线2x+ y=1为三角形一内角平分线，点（1,2）与（-1,-2）为三角形两顶点，求其第三顶点。

3、已知直线过点（-1，-4)，它在两坐标轴上的截距为负值，且其积为最小，求此直线方程。

4、已知直线过点（-1,1)，且与两坐标轴围成三角形的面积等于3，求其方程。

5、一直线过点（-1,1)，它被两平行直线

x+2y=1与x+2y=3

所截得线段的中点在直线x-y=1上，求其方程。

6．已知直线被两平行直线

3x+4y+8=0与3x+7y-7=0

所截得线段长为3√2，并过点（2,3)，求其方程。

7，设 f(x,y)=a₀x³+a₁x²y+a₂xy²+a₃y³=0表示三条直线，则点 P ( m,n）到此三直线的距离之积为

本文完。

选自《数理化生园地》创刊号1983年，上海科学技术出版社。

特别收录

《数学辞海》第一卷中关于直线方程的部分条目:

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。