矩阵的对角化包括相似对角化和合同对角化：

图1

对于一般矩阵，相似对角化大概有以下几种情况：

1：首先是能不能对角化的问题。

图2

2：如果可以相似对角化，是否一定可以正交相似对角化？

上图表明，一个矩阵可以相似对角化不一定就可以正交相似对角化，原因在于特征向量正交化以后可能不再是原矩阵的特征向量，比如正交化后的β2不再是原矩阵A的特征向量。

对于矩阵的合同，一般讨论的是实对称矩阵。

同时，实对称矩阵也必须满足图2的条件才能进行相似对角化。

上图表示，实对称矩阵经过非正交矩阵C的合同变换以后，得到了二次型的标准型。图中的矩阵C可以通过配方法等途径得到。

由以上叙述可以看到，对于正交矩阵，相似变换和合同变换被统一了起来。

从以上例子的求解过程看到，本来是一个矩阵合同的问题，但却是通过矩阵的相似变换来解决的，这其中的原因就在于正交矩阵的逆等于它的转置。借助这个性质，得以把矩阵合同的问题转化为矩阵相似的问题。

这里要注意的是，因为是通过相似变换进行推导，所以得出的特征向量α1、α2、α3，由它们的列向量构成的矩阵P，并不能直接作为图1中合同变换的矩阵F使用，因为不能保证这个矩阵P的逆会等于它的转置，只有正交化以后才可以作为合同变换的矩阵F使用。

简单来说：

1：矩阵对角化有相似对角化和合同对角化两种方式。

2：无论哪种方式的对角化，都存在可以不可以的问题。

3：通过正交矩阵，合同对角化的问题可以转化为相似对角化的问题。