竟然有这么多不知道的求π方法！

您知道吗？我们计算π，除了用几何法、数列法、连分数法和现代计算机计算，还有一种不用繁杂计算的稀奇方法——实验法。

精确性是经典数学的一大特点，各种精确的计算公式和无懈可击的定理正是这种特点的表现之一。但现实生活中的许多问题，要找到描述它们的精确的数学公式却是十分困难的，甚至难以办得到。对于某些具有偶然性的事件更加如此。

1、蒲丰实验

法国著名数学家蒲丰，在研究偶然事件的规律时曾发现有时数学问题无须进行繁杂的运算而只需通过实验会有其必然性的结果。由他设计的投针计算圆周率π的实验就是应用这种方法的一个著名例子。

蒲丰实验：在一张纸上，用尺画一组相距为d的平行线，用一些粗细均匀长度小于d的小针扔到画了线的纸面上，并记录着小针与平行线相交的次数。如果投针的次数非常之多，则由扔出的次数，和小针与平行线相交的次数，通过某种运算，便可求出r的近似值。历史上曾有不少数学家作过这个实验，结果如表1。

表1

由表1可看出，由抛针实验所得出的结果与π值的确相近但也看出，拉兹里尼实验次数比乌尔夫少，但π的精确度反而高。由此知，不一定实验次数越高，精确度就一定越高。

2、抛针实验与π

为什么从一些随意抛针实验中，会与圆周率π发生联系呢？我们先看一个假想的试验：

找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径等于二平行线间的距离d。那么，无论怎样扔下圆圈，都会和平行线有两个公共点（或者是两个交点或者是两个切点），如图1.如果扔n次，则圆圈与平行线相交2n个点次。如果把圆圈拉直成一根针，

图1

则针长EF=πd，这样，针EF与平行线相交的方式有：4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，0个交点，如图27-1.由于这是随机过程的多次重复试验，总的可能性和它在圆周形式下相同。因而，将针EF扔n次，它与平行线相交乃2n个点次。经过多次（数千次）重复试验，证实针EF与平行线相交点的次数m将随着试验次数增大，而逐渐向2n逼近。如果用不同长度的针l，l’投掷，它们与平行线相交的次数与针l，l’的长度l，l’成正比。

由上可知，用针长为l的针与针长为πd的针EF，分别投掷n次，则它们分别与平行线交点的次数m与2n之比为m/2n=l/πd，即π=2nl/md，如果我们取l=d/2，则有π=n/m=投扔总次数/碰线总次数，这个试验的设计和公式，首先是由法国博物学碰线总次数家蒲丰在论文“或然性算术尝试”中提出的。

1901年，意大利的拉兹里尼，使用长为l=0.83d的针，投扔了3408次，求出π的近似值3.1415929，准确到小数点后6位。这不但为圆周率的研究开辟了一条新路，并逐渐发展成为一种新的数学方法——统计试验法（又叫“蒙特卡罗方法”）。现在这个工作尽可全部交由计算机，在几秒钟之内便可完成。

3、另一种奇特的求π方法

您相信吗？如果让一些人，每人任意随机地写出几个正整数对，然后由写出的所有正整数对中，检查多少对正整数是互质的，再由互质的对数与所有给出的正整数对的比，竟可求得π的近似值。这实在是出人意料，简直是超出了常人的想像力，而使人感到震惊！

事实上，有人就作过这样的试验。大约在1904年，查里斯叫50名学生每人随机地写出5对正整数，在所得的250对正整数中，它发现有154对是互质的，这样出现的互质数对的概率便是154/250.如果把这个数目说成6/x^2，则可算出x=3,12而π=3.14159…，“奇迹”终于出现了！

要严格证明上述概率是6/x^2，需要用到较高的数学知识，而且很难找到像蒲丰实验那样巧妙的设计与证明。我们只能通过以下简单的例子而得到解释。

随机地写出两个小于1的正数x与y，它们与数1一起组成三数组（x，y，1）。这样的三个数正好是一个钝角三角形三边的概率是(π-2)/4。这个实验与查里斯实验的结构是极其相似的。但是它的证明却无需用到很多的数学知识。由于0<x，y<1，所以，以数对（x，y）确定的点必均匀分布在单位正方形内。也就是对应的点（x，y）出现在正方形中每一处的机会都相等。如果符合条件的点（指三数（x，y，1）能构成钝角三角形的数对（x，y）对应的点），落在一个阴影区域G内，如图2，根据机会均等原则，所求概率应为p=G的面积/正方形面积，我们再来考虑以x，y，1为边长的钝角三角形，如图3，由于0<x，y<1，可知x，y边所对的角都是锐角，只有为1的边所对的角A为钝角，在△ABC中，由余弦定理，有1^2=x^2+y^2-2xycosA，即x^2+y^2=1+2xycosA，由于cosA<0，所以2xycosA<0，故得

x^2+y^2<1 （1）

此即△ABC为钝角三角形的充要条件。

图2

图3

而以三数（x，y，1）为边构成的三角形的必要条件是x+y>1，亦即

y>1-x （2）

因满足不等式（1）的点（x，y）在单位圆内部，而满足不等式（2）的点（x，y），在正方形对角线AB的上方。故同时满足不等式（1）、（2）的点必落在图4的阴影部分内。

图4

这样三数（x，y，1）能构成三角形的概率：

这不是吗？“π”确实出现在随机写数的场合中，这是多么神奇！

下面，便可进行类似于查里斯的试验了：可叫来许多的学生，让每人随机地写下一对小于1的正数，然后，让大家检查一下，看随机写下的两个数x，y与1能否构成一个钝角三角形（即要同时满足二不等式：x+y>1，x^2+y^2<1）。若有m名学生，写出的数对中能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）有n个。则有n/m=(π-2)/4，这样便有π=4n/m+2。