数列的通项与求和是历年高考命题的重点与热点,试题较为综合,主要有以下命题角度:

(1)数列的前n项和Sn与项an之间的关系的应用;

(2)简单的等差数列、等比数列求和问题;

(3)综合性的数列求和,主要涉及裂项相消法、错位相减法、分组求和法的应用;(4)数列的综合问题,与函数、不等式、三角以及数学文化等知识相结合,综合考查考生对数列知识的掌握程度与应用能力.

此类问题以解答题为主,属于中档题,分值为12分;也出现在选择题或填空题中偏后的位置,属于中高档题,分值为5分.

例1:[2018全国卷Ⅰ,4,5分]

记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（ ）

A．-12 B．-10 C．10 D．12

思路分析:本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式.先由已知条件求得公差d,再利用通项公式求a5.

解析：

答案:B

例2:[2017全国卷Ⅱ,3,5分]

我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯

A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏

思路分析:本题以我国古代数学名著《算法统宗》中的实际问题为背景,考查等比数列的概念、前n项和公式,意在考查考生的阅读理解能力、运算求解能力以及数学文化素养.

答案:B

例3:[2018全国卷Ⅱ,17,10分]

记Sn为等差数列{an}的前项和，已知a1=-7，S3=-15．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值．

思路分析:（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果;（2）根据等差数列前n项和公式得Sn的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.

解析:（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．

由a1=–7得d=2．

所以{an}的通项公式为an=2n–9．

（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．

所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．

答案:（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．

总结：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.