前言:
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三角函数是中学数学学习的重点、难点之一。有同学数学学习本来还不错,但从三角函数开始情况变得不再乐观,学习开始发懵,感觉到数学学习力不从心,学习成绩明显下滑:要么概念不能熟练掌握、不好理解;要么觉得公式太多,没办法背熟、记全;要么三角函数特殊角的数值大小、正负记不牢,容易混淆。因而,三角函数成为中学数学学习上的拦路虎,甚至成为部分学生的噩梦。
下面,以平面直角坐标系作为基础,从基本概念开始介绍,希望能够降低三角函数的学习难度,帮助大家更快更好地掌握三角函数。
一、 准备知识
1、 平面直角坐标系
如图1所示,建立平面直角坐标系xOy,坐标平面被x轴和y轴分割成四个部分,分别称做第一象限、第二象限、第三象限及第四象限。
2、 角度正、负规定
以平面直角坐标系原点O为圆心,做半径为r的圆,半径OA与x轴的夹角记为α,如图2所示。
α角大小的变化,可以看做是A点以r为半径绕原点O转动所致,A点转动的起始位置在x轴上。
规定:从x轴指向半径OA,逆时针时α角为正值,顺时针时α角为负值。
如图3所示,α=45度或者-315度;
如图4所示,α=180度或者-180度。
3、 角度单位:弧度(rad)
大家都知道,角度的常用单位是度,转一圈是360度,平角是180度,直角是90度。
俗话说入乡随俗,到哪道山唱什么歌。在数学、物理等学科,角度的单位一般不再用度,而是用弧度。弧度的英文词汇是radian,缩写成rad,不过人们习惯弧度的单位省略不写。
(1)弧度的定义:弧度制指对于一个圆,用弧长l与半径r之比来度量对应圆心角α角度的方式,如图5所示。
(2)弧度与度的换算
根据弧度定义,等于半径长的圆弧所对的圆心角是1弧度;一个圆周长是2πr,其圆心角就是2π弧度,简称2π。弧度与度的换算关系如下:
弧度的精髓就在于它是一个与圆半径无关的量,从而大大简化了有关公式及运算。
4、 半径OA的投影
如图6所示,对于锐角α,A点位于第一象限,半径OA在x轴上的的投影为OB,长度记为x;半径OA在y轴上的的投影为OC,长度记为y,则三角形OBA构成直角三角形。
二、 三角函数的基本定义
在直角三角形OBA中,直边x、y及斜边r与角α的基本关系有六种:正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,常用的是前三种函数。
这六种函数的定义如下:
1、 正弦函数
在直角三角形中,锐角α的对边与斜边的比值,称做α角的正弦函数,简称α角的正弦,记作sinα(sin是正弦一词的英语词汇sine的缩写),即
从图6上可以看出,当α=0时, y=0,sinα=0,最小;当α=90度时,y=r,sinα=1,最大;所以sinα的取值范围有:0≤sinα≤1。
2、 余弦函数
在直角三角形中,锐角α的邻边与斜边的比值,称做α角的余弦函数,简称α角的余弦,记作cosα(cos是余弦一词的英语词汇cosine的缩写),即
从图6上可以看出,当α=0时,x=r,cosα=1,最大;当α=90度时,x=0,cosα=0,最小;所以cosα的取值范围有:0≤cosα≤1。
3、 正切函数
在直角三角形中,锐角α的对边与邻边的比值,称做α角的正切函数,简称α角的正切,记作tanα或tgα(tan、tg都是正切一词的英语词汇tangent的缩写),即
考虑到正弦函数、余弦函数的定义,得知
从图6上可以看出,当α=0时,x=r,y=0,tanα=0,最小;当α=90度时,x=0,y=r,tanα趋于无穷大,发散;所以tanα的取值范围有:0≤tanα<∞。
4、 余切函数
在直角三角形中,锐角α的邻边与对边的比值,称做α角的余切函数,简称α角的余切,记作cotα或ctgα(cot、ctg都是余切一词的英语词汇Cotangent的缩写),即
从定义上可以看出,余切是正切的倒数,有
考虑到正弦函数、余弦函数的定义,得知
从图6上也可以看出,当α=0时,x=r,y=0,cotα趋于无穷大,发散;当α=90度时,x=0,y=r,cotα=0,最小;所以cotα的取值范围有:0≤cotα<∞。
5、 正割函数
正割函数是余弦函数的倒数,是在直角三角形中,锐角α的斜边与邻边的比值,记作secα(sec是正割一词的英语词汇Secant的缩写),即
从图6上可以看出,当α=0时,x=r,secα=1,最小;当α=90度时,x=0,secα趋于无穷大,发散;所以cosα的取值范围有:1≤secα<∞。
6、 余割函数
余割函数是正弦函数的倒数,是在直角三角形中,锐角α的斜边与对边的比值,记作cosecα(cosec是正割一词的英语词汇Cosecant的缩写),即
从图6上可以看出,当α=0时, y=0,cosecα趋于无穷大,发散=0;当α=90度时,y=r,cosecα=1,最小;所以cosecα的取值范围有:1≤cosecα<∞。
(待续)
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