文 | 栗頿

编辑 | 栗頿

前言

在绝热极限下，对于托卡马克这样的轴对称配置，平衡状态下的粒子运动特征由三个独立的运动不变量来描述，这意味着它们沿着导引中心轨迹保持不变：

动能

绝热矩

规范托卡尔动量（其中ψ是极向通量）

接下来我们将使用动作-角变量的形式进行描述。最后一个保证了粒子沿磁力线运动在通量面上。三个运动不变量的存在使得粒子的平衡轨迹具有可积性。

传递/困捕粒子运动

需要注意的是，µ不变的一个直接结果是一些粒子仍然被限制在束约腔的外部。它们被称为困捕粒子，如图1所示。如果我们近似认为平衡磁场的主要分量是其托卡尔分量，即B0 = Bϕ0，则可以直接得出以上结论。

方程1

因此很容易看出，如果沿着螺旋磁力线运动的粒子靠近轴对称轴，能量和绝热矩同时保持不变的特性可能会导致平行速度的抵消。事实上与其垂直能量相比，困捕粒子的平行动能不足以穿透到托卡马克的高场侧，所以它们位于托卡马克的低场侧，并在镜像点之间来回反弹。

图1：困捕粒子轨迹的三个角分量。1表示离子回旋运动，2表示托卡尔运动，3表示弹跳运动（极向运动）

由于磁场的不均匀性和曲率引起的持续垂直漂移，它们的轨道具有有限的宽度。当在极向平面投影时，这些粒子所追踪的轨迹呈香蕉形状，因此被称为香蕉轨道，下图为他们的香蕉宽度。

香蕉宽度

它们在托卡马克中的示意图如图1所示。如果vk不为零，则该粒子被称为过渡粒子。

托卡尔动量不变的一个直接结果是与磁通相对应的小半径的偏移。

托卡尔动量

实际上极向通量与大半径成反比，对于一个恒定的正（负）平行速度，小半径增加（减小）。小半径的这种偏移取决于平行速度的符号，它可以表示为：

方程2

等离子体建模

在研究与电磁场相互作用的实验室等离子体的情况下，对于等离子体的描述和研究有一个基本问题：如何描述和研究等离子体？

通常数学工具被用来对等离子体进行建模，但这会导致解决一组积分-微分方程的问题。在包含许多个体粒子的宏观物理系统中，基本上有三个层次的描述：精确的微观描述、动力学理论和宏观或流体描述。

微观描述基本上是通过将等离子体中所有个体粒子的行为和效应相加来发展的。在经典情况下，这意味着对大约10^20个粒子编写牛顿定律F = ma，并在给定初始条件的情况下求解所有10^20个相互作用轨迹。

从原则上讲，这种描述是精确的，但在实践中，解决这个系统是不可行的。尽管如此，微观描述作为一个形式上的起点，用于导出可解的、实际的描述是有用的。由于我们不关心所有微观粒子数据，我们可以通过应用统计和概率概念来转向动力学理论。

因此我们考虑由动力学方程描述的系统的统计集合。这种方法仍然被认为是微观的，因为虽然个体粒子的精确空间位置是未知的，但需要有关粒子运动的信息。最后可以进一步减少动力学理论，只保留宏观量和描述它们在时间和空间中演化的闭合方程。

动力学描述

通过测量一个粒子在包含空间和速度元素的体积元素V + dV中，在时间间隔t+dt内的概率。可以由一个粒子分布函数定义等离子体的粒子。一个物种α的单个粒子可以用配置空间中的位置矢量r和速度空间中的速度矢量v来描述。

粒子的位置在相空间中由其坐标（r，v）定义。然而等离子体是一个粒子集合：电子'e'、离子'i'和中性粒子，它们都在外部力和内部碰撞过程的影响下运动。因此我们引入了物种s的分布函数fs(r, v, t)，定义为使得fs(r, v, t) dr dv = dN(r, v, t)中的粒子数量是在时间t时位于r、v附近以体积元素dV = drdv为中心的粒子数。

这里，dr = d3r = dxdydz，而dv = d3v = dvxdvydvz。分布函数fs的演化由玻尔兹曼方程决定，该方程适用于经典气体，它表明粒子分布函数只在碰撞时随时间变化，这是由于Liouville定理得出的，该定理断言相空间分布函数沿着系统的轨迹是常数。这可以表示为：

方程3

其中总时间导数可以使用链式法则写为：

方程4

其中方程的右侧表示F(x, t)是作用于粒子的力，方程3表示由碰撞引起的变化率。

对于经典气体，玻尔兹曼只考虑了二元碰撞，其中散射发生在气体分子之间。然而弗拉索夫认识到，对于电离气体或等离子体，可以忽略成对碰撞，但需要考虑远程库仑相互作用，即包括自洽的电磁场效应。因此描述等离子体粒子受电场和磁场力作用的弗拉索夫方程如下：

方程5

对于受到电场和磁场力作用的等离子体粒子，弗拉索夫方程描述了单粒子分布函数的变化。

方程6、7

其中σ是电荷密度，c是光速，µ₀和ε₀分别是真空的磁导率和电介质常数，J是电流密度。根据所考虑的问题，可以对麦克斯韦-弗拉索夫系统进行简化。我们主要使用磁限制条件，即忽略静电波动。因此麦克斯韦方程可以表示为：

方程8

Vlasov-Maxwell系统不仅提供了等离子体动力学的便捷描述，而且特别适用于分析等离子体粒子与电磁波的相互作用。然而在描述等离子体中发生的某些现象时，仅使用宏观方法可能已经足够。

考虑到Vlasov-Maxwell系统在解析和数值求解上的困难，这种简化是相当实用的。由于方程的高维度、存在广泛的时间和空间尺度以及等离子体动力学高度湍流和混沌等特点，因此简化是有益的。考虑到Vlasov-Maxwell系统在解析和数值求解上的困难，这种简化是相当实用的。由于方程的高维度、存在广泛的时间和空间尺度以及等离子体动力学高度湍流和混沌等特点，因此简化是有益的。

物种's'的粒子数密度可以表示为：

方程9

这是粒子分布函数的零阶矩。通过分别将方程9乘以ms和qs，可以得到质量密度和电荷密度。等离子体流动的“平均”速度由二阶矩给出。

方程10

类似地，可以通过将方程10乘以粒子数密度来获得粒子通量。通过将通量乘以电荷密度，可以计算给定物种的电荷通量密度或电流密度。

方程11、12

因此，可以通过对Vlasov方程进行速度矩展开，获得这些量的演化方程。这将得到守恒方程，例如，Vlasov方程的零阶速度矩给出质量守恒方程。

方程13

一阶速度矩给出动量守恒方程：

方程14

在这里，Ps是压力张量等等。请注意，每个方程都取决于下一个阶宏观量的散度。从这个意义上说，可以将Vlasov方程解释为无穷多个流体矩方程。截断系统的一种方法是使用通过较低阶矩来闭合某些矩的闭合方程。

流体方程仍然是复杂的偏微分方程，对于某些研究，可以进一步简化以获得一个更易处理的系统。例如，可以考虑单流体方法，其中离子和电子密度相等，从而恢复磁流体动力学方程（MHD），描述大于电荷分离尺度的等离子体。

等离子体不稳定性

等离子体物理学的一个重要领域是等离子体的稳定性。通常只有在确认等离子体处于平衡状态后，分析等离子体的稳定性才有意义。如果等离子体没有净力会加速等离子体的任何部分，那么称该等离子体处于“平衡”状态。

在托卡马克装置中，等离子体的平衡磁场配置由通过每个特定表面上的磁力线的极向磁通函数Ψ的取值标记的嵌套闭合磁场面组成。图2显示了具有嵌套磁场面的磁场配置。最内层的磁场面是一条线，称为磁轴，其上的磁场只有环向分量。

由于粒子在磁场面上的快速热运动，保证了温度、密度、压力和电流等平衡等离子体量在磁通面上是恒定的，从而保证了平衡的轴对称性。在下文中，我们使用参数Ψ。

方程15

其中Rmax和Rmin分别是磁通面的最大和最小主半径，用于表示磁通面。如果我们考虑简化的圆形同心磁通面，以磁轴为中心，那么次半径可以与磁通面的环向圆截面半径重合，在图2上标记为r。在不同的磁通面上，极向磁场和环向磁场之间的比值可能会发生变化。

图2：托卡马克磁场配置。

极向磁场和环向磁场之间的比例关系由一个在研究磁场配置稳定性中至关重要的参数表示，即安全因子q。

它是一个与磁通函数Ψ有关的函数，q = q(Ψ)，用于描述闭合磁场面上磁场（∝ Bϕ/Bθ）的绕圈情况。它定义为磁力线在极向方向完成一圈所需的环向圈数，可以表示为：

方程16

如果q是单调的，每个值都与一个磁力线相关。如果q = m/n，其中n和m分别是极向和环向绕圈数，是一个有理数，那么在完成n个极向绕圈和m个环向绕圈后，磁场将自我闭合。这在图3中有所描述。

这个磁通面被称为共振面，因为等离子体和电磁场之间的重要能量交换现象可以发生在这里。另一方面，如果q由一个无理数给出，那么磁力线将在磁通面上呈现遍历性。

q的径向分布对于描述等离子体行为起着重要作用。例如，与q的导数相关的一个量，称为磁剪切s = (r/q) dq/dr，在等离子体的稳定性中非常重要。为了防止在径向方向上出现可能破坏平衡配置的大结构，需要保持较高的磁剪切值。

图3：q = m/n = 2/1磁通面上的磁力线。

当一个系统处于平衡状态时，可能会有一些小的扰动力作用于等离子体的特定部分，从而产生不稳定性。扰动可以分解为不同的模式。

如果所有模式在等离子体中都是稳定的，它们将衰减，扰动将消失。相反，如果某些模式是不稳定的，它们将随时间增长。不稳定性主要可能来自等离子体电流或压力梯度，以及不利的磁场曲率。

交换不稳定性

托卡马克等离子体中存在的大多数不稳定性属于所谓的交换类型。当两个磁通管进行交换时，就会产生这种类型的不稳定性，从而释放一些能量。磁能的变化等于零，因为交换发生在恒定的磁能下，这意味着磁通必须相等。

这是由于零电阻率等离子体的冻结定律，该定律规定导电等离子体与磁力线相结合，因此在等离子体运动过程中封闭回路中的磁通保持不变。

释放的能量是由于体积元内等离子体压力通过动能的变化引起的，δWk = δP δV，其中Wk是势能，P是等离子体压力，V是等离子体体积。当δWk < 0时，不稳定性就会发生。对于沿磁力线缓慢变化的磁场，交换不稳定性的条件为：

图4：从上方观察的托卡马克等离子体中交换不稳定性的示意图。

不稳定性的条件为：

方程17

这意味着当压力梯度与磁场曲率一致时，不稳定性会发生。在托卡马克中，磁场的梯度朝着磁轴方向增加，因为磁场是主半径的递减函数B0 = Bϕ/R (1 + cos θ)。

但是压力在每个磁通面上保持恒定，但在磁轴上达到最大值。因此，交换模式在托卡马克的低场侧是局部不稳定的。这在图4中有所描述。

撕裂模不稳定性

所谓的撕裂不稳定性是一种导致磁力线弯曲和断裂（"撕裂"）的不稳定性，导致磁岛的形成。这些结构由于高平行热导率，在岛屿上引起了压力分布的平坦化（图5），从而导致限制能力的降低，并且如果岛屿的尺寸与模式有理面与等离子体边缘之间的距离相当，则可能导致破裂。

磁力线的弯曲是由于现有的自由磁能耗散到违反冻结定律的局部区域。在该区域内，磁力线相对于等离子体滑移，从而在平行方向上引入非零的电场。这个电场沿着磁力线加速电子。电子的快速流动导致在电阻层内部局部产生扰动的平行电流。

图5：由于磁岛在q = m/n = 3/2层周围的形成，压力分布的平坦化。图片取自w3fusion.ph.utexas.edu

这些结构如图6所示。当然磁岛也可能是其他类型的不稳定性引起的，即微撕裂模。它是由共振面内部的能量驱动的小尺度模式，由于高温梯度。已经发现它会产生小尺度的磁岛，在托卡马克中可能负责重要的径向粒子和能量输运。

湍流也被发现是磁岛的驱动机制之一。不过我们主要关注经典的大尺度撕裂模，但在没有湍流的情况下，也有部分内容专门研究小尺度的"微撕裂模"。

图6：在共振层周围形成一串磁岛后的磁场磁拓扑。

结语

当带电粒子处于平衡电磁场中时，它们的运动轨迹表现出一定的规律性和稳定性。在弱电磁场下，带电粒子受到微小的偏转，轨迹呈现微小摆动；而在强电磁场下，则会发生明显的偏转和回旋，甚至形成闭合轨道。

无论是哪种情况，这都与电磁场的性质、带电粒子的电荷、质量和速度等因素密切相关。