几何图形中的等量关系式

1. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E.若∠A＝α，∠E＝β，则( )

第1题图

A. β－α＝0 B. 2β－α＝0

C. 3β－α＝0 D. 3β－2α＝0

B　【解析】∵CE、BE分别平分∠ACD、∠ABC，∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，∵∠E＝∠ECD－∠EBD＝(∠ACD－∠ABC)＝∠A，∴2∠E＝∠A，即2β－α＝0.

2. 如图，正方形ABCD边长为2，点P是线段CD边上的动点(与点C，D不重合)，∠PBQ＝45°，过点A作AE∥BP，交BQ于点E，则( )

第2题图

A. BP·BE＝2 B. BP·BE＝4

C. ＝ D. ＝

第2题解图

B　【解析】如解图，连接AP，过点E作EM⊥PB于M.∵AE∥PB，∴S△PBE＝S△ABP＝S正方形ABCD＝2，∴·PB·EM＝2，∵∠EBM＝45°，∠EMB＝90°，∴EM＝BE，∴·PB·BE＝2，∴PB·BE＝4.

3. 如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，则( )

第3题图

A. BC＝2DF B. 2BC＝3DF

C. BC＝3DF D. 3BC＝4DF

A　【解析】∵OD⊥弦BC于点E，∴CE＝BE，∴2BE＝BC，∵DF⊥AB于点F.∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∴△OEB≌△OFD(AAS)，∴DF＝BE，∴BC＝2DF.

4. 我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形．如图，四边形ABCD是和美四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，E、F分别是AD、BC的中点，则( )

第4题图

A. EF＝AC

B. EF＝AC

C. EF＝AC

D. EF＝AC

第4题解图

C　【解析】如解图，连接BE并延长至M，使BE＝EM，连接DM、AM、CM，∵AE＝ED，∴四边形MABD是平行四边形，∴BD＝AM，BD∥AM，∴∠MAC＝∠AOB＝60°，又∵AC＝BD＝AM，∴△AMC是等边三角形，∴CM＝AC，在△BMC中，∵BE＝EM，BF＝FC，∴EF＝CM＝AC.

5. 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则( )

第5题图

A. 3∠A＝2∠1－∠2

B. 3∠A＝2(∠1－∠2)

C. 2∠A＝∠1－∠2

D. ∠A＝∠1－∠2

C　【解析】如解图，由翻折的性质得，∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠3＝(180°－∠1)，∵在△ADE中，∠AED＝180°－∠3－∠A，∠CED＝∠3＋∠A，∠A′ED＝∠CED＋∠2＝∠3＋∠A＋∠2，∴180°－∠3－∠A＝∠3＋∠A＋∠2，整理得，2∠3＋2∠A＋∠2＝180°，∴2×(180°－∠1)＋2∠A＋∠2＝180°，∴2∠A＝∠1－∠2.

第5题解图

6. 如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF，则( )

第6题图

A. BF＝AE

B. BF＝2AE

C. BF＝3AE

D. BF＝AE

B　【解析】∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠CBE，∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF＝AC，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AC＝2AE，∴BF＝2AE.

7. 如图，已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD＝DE，连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G，EM⊥AC于点M，连接DM，则( )

第7题图

A. DG＋EM＝AM

B. 2DG＋2EM＝AM

C. AM－2EM＝DG

D. AM－EM＝2DG

D　【解析】如解图，过D点作DK⊥DM交AC于点K，∠2＋∠KDF＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，且DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠1＋∠KDF＝90°，∴∠1＝∠2，又∵∠3＋∠4＝90°，∠5＋∠EFM＝90°，∠4＝∠EFM，∴∠3＝∠5，∴△ADK≌△EDM(ASA)，∴DK＝DM，AK＝EM，∴△MDK为等腰直角三角形，∵DG⊥AC，∴MK＝2KG＝2DG，∴AM－EM＝AM－AK＝MK＝2DG.

第7题解图

8. 如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，交AC于点G，连接CF，则( )

第8题图

A. CG＝2AG

B. CG＝3AG

C. 2CG＝3AG

D. 3CG＝4AG

A　【解析】如解图，过点D作DM∥EG交AC于点M，∵AD是△ABC的中线，∴AD＝DC＝BD，∵DM∥EG，∴DM是△BCG的中位线，∴M是CG的中点，∴CM＝MG，∵E是AD的中点，∴EG是△ADM的中位线，∴G是AM的中点，∴AG＝MG，∴CG＝2GM＝2AG.

第8题解图

9. 如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，连接AP、CP，过点B作BF⊥AP于点H，且延长CP、BH使其分别交AD于点E、F.则( )

第9题图

A. ∠APE＝∠FBD

B. 2∠APE＝∠FBD

C. ∠APE＝2∠FBD

D. ∠APE＝3∠FBD

C　【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，又∵BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠APB＝∠CPB，∠BAP＝∠BCP，设∠APB＝∠CPB＝x，∠BAP＝∠BCP＝y，则有2x＋2y＋90°＝360°，∴x＋y＝135°，∵∠APE＝180°－2x，∠FBD＝45°－∠ABH＝45°－(90°－y)＝y－45°＝135°－x－45°＝90°－x，∴∠APE＝2∠FBD.

10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则( )

第10题图

A. y＝3x2

B. y＝4x2

C. y＝8x2

D. y＝9x2

C　【解析】∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE，∵EG⊥AF，FH⊥CE，∴四边形EHFG是矩形，∵∠AEG＋∠BEC＝∠BCE＋∠BEC＝90°，∴∠AEG＝∠BCE，∴tan∠AEG＝tan∠BCE，∴＝，∵AG＝x，∴EG＝2x，∴由勾股定理可知AE＝x，∴AB＝BC＝2x，∴CE＝5x，∵EG＝HF，AE＝CF，∴Rt△AEG≌Rt△CFH，∴AG＝CH，∴EH＝EC－CH＝4x，∴y＝EG·EH＝8x2.